Лабораторная работа №17 волны на свободной поверхности жидкости
Теоретическое
введение.
Рассмотрим процесс распространения
волн в бесконечном водоеме глубины
.
В отсутствии волны поверхность воды
плоская. Пусть для этой плоскости
и ось
направлена вверх, а волна распространяется
горизонтально вдоль оси
,
так что гребни и впадины волны расположены
вдоль линий, перпендикулярных оси
.
Обозначим
через
равновесные координаты некоторой
частицы волны: (
;
).
В
волне частица совершает движение,
которое является суперпозицией двух
движений: вверх-вниз (вдоль оси
)
и движение вперед-назад (вдоль оси
).
Вектор смещения в волне имеет только
и
компоненты:
,
где
,
- проекции вектора смещения на оси
и
соответственно.
Выделим
вблизи поверхности жидкости элементарный
объём
(рис. 1), находящийся в равновесном
положении; предполагается, что
,
(
- длина волны). Над этим элементом
находится столб жидкости высотой
.
|
Рис. 1. Движение выделенного элемента жидкости. |
Гравитационные волны. Рассчитаем силу, действующую на выделенный элементарный объём вдоль оси :
(1)
Здесь
- плотность жидкости,
- ускорение силы тяжести,
масса элементарного объёма,
и
- значения
в точках
и
соответственно.
По второму закону Ньютона
(2)
Поскольку сила квазиупругая, то вызываемое ею смещение гармоническое, а поэтому
(3)
Рассчитаем
значения
и
.
Предположим
;
используя условие несжимаемости
(4)
и условие отсутствия завихрений
, (5)
получим уравнение
. (6)
Это
уравнение имеет решение:
.
Используя
граничное условие на дне:
при
,
а, следовательно, и
при
,
получим
;
(7)
Аналогично
рассчитывается
:
(8)
Траектория движения частиц. Найдем уравнение траектории движения частиц в волне. Для этого представим смещение и в виде:
(7а)
(8а)
Тогда, исключив из этих двух уравнений время, получим уравнение траектории:
, (9)
которое представляет собой уравнение эллипса. Таким образом, в волне частицы совершают движение по эллиптическим траекториям.
Рассмотрим частные случаи
1.
(глубокая вода).
Уравнение эллипса превращается в уравнение окружности:
, (10)
т.е.
частицы в глубокой воде движутся по
окружности в плоскости
,
смещаясь вперед, когда они находятся
на гребне волны, и назад, когда они
находятся во впадине (рис.2).
|
Рис.2. Траектории движения частиц в волне. |
Радиус окружности уменьшается с удалением от поверхности жидкости.
2.
(мелкая вода)
В этом случае выражение для смещений частиц в волне (7а) и (8а) принимают вид
; 
.
Отсюда
видно, что горизонтальное смещение
частицы не зависит от её равновесной
координаты
.
Вертикальное смещение
,
меняется линейно с глубиной частицы,
достигая нуля на дне и максимума на
поверхности. На поверхности максимальное
вертикальное смещение меньше максимального
горизонтального в
раз.
Силы
поверхностного натяжения.
Поверхность жидкости можно рассматривать
как растянутую мембрану, Сила поверхностного
натяжения
(
-
поверхностное натяжение) направлена
вдоль оси
.
Если свободная поверхность выпуклая, то возникает добавочное давление, равное в этом случае
, (11)
где
(
- радиус кривизны).
Учитывая
(7), получим
.
Уравнение (1) с учетом поверхностного
натяжения можно представить в следующем
виде:
, (12)
где
,
.
Из (7)и (8) следует, что
.
Тогда (3) с учетом (12) преобразуются к виду
(13)
В глубокой воде ( ):
, (14)
а фазовая скорость:
, (15)
где - длина волны.
В
мелкой воде (
),
очевидно,
,
.
Выражение
(13) принимает вид
,
фазовая
скорость волны :
.
В этом случае волны не обладают дисперсией.
Экспериментальные исследования. Экспериментальные исследования проводятся на стандартной установке для наблюдения волн на поверхности жидкости.
Задания.
1). Перед проведением экспериментов ознакомиться с конструкцией установки и принципом ее действия по техническому описанию.
2). Подготовить установку к эксперименту.
3). Провести по масштабной линейке измерения длины волны в режиме наблюдения бегущих плоских волн при стробоскопическом освещении (не менее пяти раз).
4).
Измерить частоту колебаний вибратора
с помощью частотомера и рассчитать
величину фазовой скорости волны
,
где
- частота;
- среднее значение длины волны.
5). Рассчитать теоретическое значение скорости волны по формуле (15) и сравнить его с экспериментальными данными в пределах погрешности.
6).
Построить график зависимости фазовой
скорости
от длины волны
в соответствии с (15), предварительно
исследовав функцию на экстремум.
Литература:
1.Крауфорд,Ф. Курс физики, т.3 Волны [Текст] / Ф.Крауфорд. – М.: Наука, 1974.
2.Поль,Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте [Текст] / Р.В. Поль. – М.: Наука, 1965.
3.Красильников,В.А. Введение в физическую акустику [Текст] / В.А.Красильников, В.В.Крылов. - М.: Наука, 1984.