Завдання к-2. Кінематика простих рухів тіл

Умова завдання. Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.0 – К2.9, табл.К2). Колеса пов'язані між собою зубчастою або пасовою передачею; рейка знаходиться у зубчастім зачепленні з одним із коліс; а вантаж прикріплений до нитки, яка намотана на колесо. При русі механізму відносне ковзання його елементів не відбувається, а пас і нитка вважаються нерозтяжними.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і ; у колеса 2 - і ; у колеса 3 - і . На ободах коліс розташовані точки і .

У стовпці «Дано» табл.К2 зазначений закон руху ведучої ланки механізму. Додатний напрямок для кута - проти руху годинникової стрілки; для відстані - униз ; - виражено в рад, - у см, час - у сек.

Визначити. В момент часу визначити указані в стовпцях «Знайти» швидкості та прискорення відповідних тіл і точок тіл. Знайдені величини показати на рисунку.

Табл.К2

Номер рядка даних	Дано	Знайти
		Швидкості	Прискорення
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Теоретичне обґрунтування : [4] §.48-51, [5] Разд.II, гл. 2,§ 1-3, [6] Разд.2, гл. X ,§ 78-84; [7]; [8].

Методичні вказівки. Задача К-2 – на дослідження простих видів руху твердого тіла (поступального й обертального).

Варто розрізняти кінематичні характеристики твердих тіл і кінематичні характеристики окремих точок цих тіл.

При поступальному русі тіла

Кінематичні характеристики тіла – лінійна швидкість тіла і лінійне прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла - швидкість точки і прискорення точки.

Закон руху тіла задається рівнянням руху однієї з його точок . Швидкість тіла - . Прискорення тіла - .

Кінематичні характеристики тіла й окремих точок тіла збігаються.

При обертальному русі тіла навколо нерухомої осі

Кінематичні характеристики тіла – кутова швидкість тіла і кутове прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла – лінійна швидкість точки і лінійне прискорення точки.

Закон обертального руху тіла задається залежністю кута повороту від часу: . Кутова швидкість - . Якщо алгебраїчне значення ,то напрям і збігається; якщо , то вони спрямовані протилежно. Кутове прискорення - . Якщо і мають однакові знаки , то рух прискорений, якщо різні – сповільнений.

Швидкість довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, визначається за формулою , де - відстань від точки до осі обертання. Вектор швидкості точки лежить у площині, перпендикулярній осі обертання і спрямований по дотичній до траєкторії руху точки, тобто , за напрямком кутової швидкості.

Вектор прискорення довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі обертального (дотичного) і доцентрового (нормального) прискорень, тобто , де і . Вектор , збігається за напрямком зі швидкістю, якщо рух прискорений, або спрямований протилежно, якщо рух сповільнений. Вектор лежить у площині, перпендикулярній осі обертання і завжди спрямований до осі обертання.

Модуль прискорення точки визначається за формулою .

Приклад К-2

Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.а). Колеса 1 і 2 пов'язані між собою пасовою передачею; колеса 2 і 3 – зубчастою передачею; рейка 4 знаходиться в зубчастім зачепленні із колесом 1; а вантаж 5 прикріплений до нитки, яка намотана на колесо 3. Пас і нитка нерозтяжні. При русі механізму відносне ковзання елементів не відбувається.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і ; у колеса 2 - і ; у колеса 3 - і .

Р ейка рухається за законом . Вісь спрямована вертикально вниз. Точка належить зовнішньому ободу колеса 3.

Визначити швидкості та прискорення всіх тіл і точки в момент часу . Усі знайдені величини зобразити на рисунку.

Розв’язування.

Механізм (рис.К2.а) є механічною системою з одним ступенем вільності. Тобто рух кожного з елементів пов’язаний з рухом інших елементів жорсткими кінематичними співвідношеннями. Тому, якщо рух одного з тіл задається, кінематичні характеристики інших тіл і їх точок фактично є визначеними. В умові даної задачі задається рух рейки 4.

1. Визначимо швидкості тіл механізму.

Знаючи закон поступального руху рейки 4, знайдемо її швидкість

. При .

Знак « - » указує на те, що в даний момент часу вектор швидкості спрямований протилежно додатному напрямку осі , тобто вгору (рис.К2.б).

Рейка 4 контактує без ковзання з внутрішнім ободом колеса 1. Враховуючи це, отримаємо рівняння зв’язку рухів тіл 1 і 4:

. При одержимо .

Напрямок кутової швидкості залежить від напрямку швидкості рейки. У даному випадку спрямована проти руху годинникової стрілки.

Колеса 1 і 2 з'єднуються зворотною пасовою передачею по зовнішньому ободу колеса 1 (радіус ) і внутрішньому ободу колеса 2 (радіус ) .

Швидкість точок паса і швидкість точок коліс по зазначених радіусах однакова і дорівнює:

. Звідси маємо .

При зворотній (перехресної) пасовій передачі напрямок обертання коліс 1 і 2 протилежний. Тому кутова швидкість спрямована за рухом годинникової стрілки.

Колеса 2 і 3 зв'язані між собою зубчастим зачепленням по зовнішніх радіусах коліс. Тому спільна для обох коліс точка контакту має швидкість:

. Звідси маємо .

При зовнішнім зачепленні напрямок обертання коліс протилежний, тобто колесо 3 обертається проти руху годинникової стрілки.

Вантаж 5 зв'язаний з колесом 3 за допомогою нерозтяжної нитки, намотаної на внутрішній обід колеса. У цьому випадку спільною точкою зв’язку рухів тіл 5 і 3 є точка дотику колеса й нитки, яка має таку ж швидкість як вантаж, тобто:

. У момент часу маємо .

Напрямок руху вантажу визначається напрямком обертання колеса 3, тобто вантаж має швидкість , спрямовану вниз.

2. Визначимо швидкість точки колеса 3 в момент часу .

Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістю і розташована на відстані від осі його обертання. Тому її швидкість :

. При одержимо .

Вектор спрямований по дотичній до обода вбік обертання колеса 3 (рис.К2.б).

3. Визначимо прискорення тіл.

Знаючи закон руху рейки, визначимо її прискорення:

і при .

М аємо > 0, тому вектор спрямований у напрямку осі , тобто вниз (рис.К2.в).

Кутове прискорення колеса 1 залежить від дотичного прискорення точки з'єднання з рейкою, що збігається з прискоренням .

Таким чином маємо:

. При

Якщо вектор спрямований вниз, то напрямок - за рухом годинникової стрілки.

Точки з'єднання коліс 1 і 2 мають однакові дотичні прискорення. Тому справедливо: .

Тоді при .

Кутове прискорення спрямоване протилежно пришвидшенню , тобто проти руху годинникової стрілки.

За аналогією можна записати , тобто при маємо

. Напрямок прискорення протилежний, тобто за рухом годинникової стрілки.

Прискорення вантажу 5 :

Вектор спрямований вгору.

4. Визначення прискорення точки .

Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістю і з кутовим прискоренням . Відстань точки від осі обертання - .

Модуль прискорення точки визначимо за формулою:

Дотичне прискорення точки :

Вектор прикладений у точці і спрямований по дотичній до обода колеса 3 у напрямку кутового прискорення .

Нормальне прискорення точки :

Вектор прикладений у точці і спрямований до осі обертання колеса 3.

Таким чином : .

Напрямок повного прискорення точки визначається векторною сумою векторів і (рис.К2.в).

Кінематичні характеристики тіл 1-5 і точки :

1. Колесо 1 - ;

2. Колесо 2 - ;

3. Колесо 3 - ;

4. Рейка 4 - ;

5. Вантаж 5 - ;

6. Точка -

Напрямок векторів швидкостей і прискорень – рис.К2,б,в.

Відповідь.