2.3.1. Разрешающая способность спектрального прибора по Рэлею.

Одним из основных параметров прибора считается его «разрешающая способность». Со времен Рэлея в спектроскопии она трактуется как наименьшее расстояние (в частотах или длинах волн) между двумя монохроматическими линиями одинаковой яркости, при котором они уверенно разрешаются. Прежде всего, остановимся на несколько неопределенном термине «уверенно». Допустим, что в нашем распоряжении имеется идеальный классический спектрограф, и зависимость освещенности фокальной плоскости от частоты (длины волны) при монохроматическом освещении описывается хорошо известной функцией (Рис. 2.9, а). Согласно Рэлею, уверенному разрешению двух линий соответствует случай, когда суммарное распределение освещенности в изображении близко расположенных одинаковых по яркости линий имеет провал 20% (Рис. 2.9, б). Это условие оправданно с двух точек зрения. С одной стороны, данная величина в несколько раз превосходит порог

Рис. 2.9, а	Рис. 2.9, б

различимости изменения яркости глазом (который составляет около 5%), а с другой — она очень удобна в математическом отношении. При подобной форме аппаратного контура, чтобы определить предел разрешения спектрального прибора, достаточно найти расстояние от точки, в которой распределение освещенности в изображении одной спектральной линии имеет главный максимум, до точки, где она впервые оказывается равной нулю («от максимума до первого нуля» аппаратного контура, или от максимума до первого нуля аппаратной функции).

Другие методы определения разрешающей способности приводят к величинам, отличающимся от рэлеевской не более чем в два раза [9].

«Разрешить» две спектральные линии равной яркости — значит определить единственную неизвестную величину – расстояние между ними ( или ). В результате случайных ошибок измерения амплитуды сигнала на выходе спектрального прибора расстояние между линиями будет найдено, очевидно, с некоторой погрешностью. Как показал Л. А. Халфин [10], относительная ошибка такого измерения растет приблизительно обратно пропорционально расстоянию между линиями. Естественно, что при такой сильной зависимости даже привлечение сложных математических методов обработки результатов измерений не позволяет существенно продвинуться за предел разрешения, найденный Рэлеем.

Таким образом, мы можем считать, что предложенный Рэлеем критерий достаточно хорошо характеризует предельную способность спектрометра разрешить две монохроматические равной яркости при простых методах обработки результатов измерений.

Введение в рассмотрение двух линий, да еще априорно обладающих равной яркостью — это довольно грубая идеализация реальных случаев. Значительно чаще бывает необходимо решить более сложные задачи, например, измерить частоту и определить порознь амплитуды двух линий различной яркости. Обратимся к рис. 2.10.

а	б
Рис. 2.10

На рис. 2.10, а показан контур, образованный двумя линиями с соотношением яркостей 1 : 20; расстояние между ними в 1,5 раза превышает минимально разрешимое по Рэлею. Воздействие второго компонента сказалось на симметрии контура, однако форма его изменилась незначительно. Вместе с тем, очевидно, что если бы аппаратный контур был лишен побочных максимумов, то выделение слабого компонента и измерение его амплитуды не представляло бы никакого труда (рис. 2.10, б). Следовательно, на разрешающую способность прибора по отношению к слабым компонентам существенное влияние оказывает величина побочных максимумов аппаратной функции.

Как объяснить это интуитивно совершенно прозрачный вывод с позиций математической статистики? Оказывается, что увеличение амплитуды побочных максимумов приводит к уменьшению устойчивости решения уравнения (2.10) по отношению к случайным помехам. Мы уже говорили, что решение задачи определения спектра входного процесса при наличии шумов возможно только в смысле статистической оценки. В процессе решения этой задачи возникают серьезные противоречия. Для того чтобы полученная оценка меньше отличалась от истинного спектра (была «несмещенной»), необходимо вычислять ее в максимально возможном количестве точек. Это требование противоречит условию минимальной ошибки в амплитудах. Дисперсия ошибки возрастает с увеличением числа точек в спектре. Уменьшить ее не удается даже при увеличении количества измерений [11]. Причиной этого оказывается как раз наличие значительных побочных максимумов аппаратной функции, медленно убывающих при увеличении расстояния от центра контура. «Энергия» шумов, приходящаяся на эти максимумы, сравнима по величине с энергией, прошедшей через основной пик. Таким образом, вывод о необходимости уменьшения величины побочных максимумов имеет точное теоретическое обоснование.

Попытка оценки спектра с помощью решения уравнения (2.10) — это решение задачи «в лоб». При таком подходе используется только одна часть имеющейся в нашем распоряжении информации – форма аппаратной функции прибора. В рассмотренных выше задачах количество априорной информации было значительно больше. При формулировке критерия Рэлея мы использовали:

1) форму аппаратной функции;

2) дискретность спектра;

3) равенство спектральной плотности яркости линий источника.

Вопрос сводился, таким образом, к оценке единственного параметра — расстояния между максимумами. Во втором примере (рис. 2.10, а) необходимо было оценить уже два параметра — расстояние и соотношение яркостей компонентов опять-таки априорно дискретного спектра.

Рассмотрим теперь рисунок 2.11. Здесь приведена запись участка спектра. Максимальная

Рис. 2.11

величина отношения сигнал/шум равна 20 (мы сказали бы, что точность измерения яркости линии около 5%). Форма аппаратной функции известна. Как подойти к решению задачи об истинном спектре? Прежде чем вычислить его, решая уравнение (2.10), необходимо обратиться за добавочной информацией. Если нам с достоверностью известно, что получена запись участка дискретного спектра, задача уже становится проще. Необходимо оценить положение компонентов и их амплитуды. Сделать это можно, не прибегая к вычислению спектра, а воспользовавшись, например, методом максимального правдоподобия. Истинный спектр, соответствующий рис. 2.11, состоит из двух компонентов, расстояние между которыми в два раза превышает расстояние от центра аппаратной функции до первого ее нуля, т. е. в два раза превышает минимально разрешимый по Рэлею интервал. Амплитуды компонентов относятся как 1 : 4. Сплошной линией на рис. 2.11 показан сигнал, который должен был бы наблюдаться на выходе спектрометра при отсутствии шумов.

На самом деле даже для дискретного спектра задача не является такой простой. Достаточно взглянуть на рис. 2.12 б. Здесь приведена аналогичная запись с тем же уровнем

а	б
Рис. 2.12

шумов. От рис. 2.11 она отличается, на первый взгляд, только уменьшением глубины провала между линиями и смещением слабого компонента в сторону сильного. В действительности же уменьшение расстояния между максимумами обусловлено только случайными помехами, а истинный спектр показан на рис. 2.12 б. Несмотря на то, что величина слабого компонента всего в 10 раз меньше самого сильного, решить задачу об определении истинного спектра по результатам измерений с шумом довольно сложно.

Представляется оправданным следующий подход к анализу спектра в присутствии случайных ошибок. Если известно, что исследуемый спектр является сплошным, или какая бы то ни было априорная информация о его форме отсутствует, то необходимо провести вычисление спектра, решая уравнение (2.10). Планируя опыт, желательно ширину аппаратной функции выбирать такой, чтобы минимизировать сумму ошибок, связанных, с одной стороны, с уровнем шума, а с другой — с отличием аппаратной функции от -функции, что привело бы к потере тонких деталей спектра (в данном случае они отсутствуют по определению). При наличии априорной информации о форме спектра предпочтительно, по-видимому, сводить задачу к статистической оценке минимального количества параметров, его описывающих.

Примером подобного подхода к решению задачи «разрешения» перекладывающихся спектральных линий могут служить работы [14, 15], посвященные прецизионному измерению частоты линий молекулы D₂. Применение в качестве фотоприемника CMOS матрицы позволяло при единичной экспозиции получить информацию о значительном участке спектра, причем дисперсию измерения яркости в пределах исследуемого участка можно было считать постоянной. При проведении эксперимента оптимизировались условия возбуждения свечения, время экспозиции, ширина входной щели спектрометра, существенное внимание было уделено линейности системы измерения яркости и точности калибровки шкалы частот спектрометра. В процессе анализа использовалась априорная информация о форме контура линии, о дискретности спектра, о предполагаемом числе компонентов и о соотношении яркости отдельных линий (когда это было возможно). Для оценки корректности разложения зарегистрированного в опыте суммарного контура на компоненты применялся вариант метода максимального правдоподобия, при котором минимизировалась среднеквадратическая разность между яркостью рассчитанного суммарного контура и данными эксперимента. Для повышения надежности полученного решения изменялись условия возбуждения спектра источника.

Один из итогов проведенного опыта по разложению сложного спектра на отдельные квазимонохроматические составляющие [15] показан на рис. 2.13. Он демонстрирует, с одной стороны, богатейшие возможности, которые открывают современные методы статистического анализа результатов эксперимента, а с другой – необходимость грамотного подхода к постановке опыта при решении физической задачи.

	Температура источника 1500 К, ширина щели 4 нормальных, контур отдельной линии аппроксимирован гауссовой кривой. В суммарном контуре удается выделить 5 составляющих.
	Температура источника 1500 К, ширина щели уменьшена до нормальной, контур отдельной линии аппроксимирован гауссовой кривой. В суммарном контуре удается выделить уже 9 составляющих.
	Температура источника уменьшена до 640 К, контур отдельной линии предполагается фойгтовским (суперпозиция гауссового и лоренцового). Выделено 9 компонентов, возросла точность измерения центров линий.
Рис. 2.13. Анализ участка спектра молекулы D2.

2.4. Предельная разрешающая способность классического монохроматора.

Аподизация аппаратного контура

С разных позиций подходя к вопросу об увеличении точности анализа спектра, мы приходим к выводу, что помимо традиционных требований об уменьшении ширины аппаратной функции и уменьшении ошибки измерения интенсивности, имеется еще один важный параметр спектрометра — величина побочных максимумов аппаратной функции. Необходимо каким-то образом воздействовать на ее форму с тем, чтобы спад от центрального пика происходил либо монотонно, либо чтобы вторичные максимумы были как можно меньше. Задача эта имеет значение не только в спектроскопии, но также и во всех случаях, когда возникает проблема выделения слабого компонента изображения или какого-либо сигнала на фоне сильного.

Процесс подавления побочных максимумов называется аподизацией³.

Качественно рассмотренная нами проблема определения истинного спектра мощности излучения по измеренному относится к широкому классу так называемых некорректных задач математической физики [12]. Интересно заметить, что одной из основных здесь является проблема сглаживания полученных решений. Способы, которыми оно осуществляется, оказываются близкими по своей сущности к методам аподизации аппаратной функции спектрометров, которые мы рассмотрим позже.