2.3. Определение истинного спектра по измеренному. Разрешающая способность спектрометра при наличии шумов

Предположим теперь, что аппаратная функция прибора известна нам точно. Тогда, пользуясь соотношением (2.7), легко можно найти спектр входного процесса по измеренному выходному. Для этого достаточно разрешить это интегральное уравнение относительно . Один из возможных приемов состоит в следующем: осуществим преобразование Фурье уравнения (2.7). Если спектры каждой из функций, стоящих в этом уравнении, существуют, то обозначив через , и соответственно фурье-образы функций , и , получим:

.

(2.9)

Формально, для того чтобы найти , достаточно вычислить

и затем осуществить обратный переход из -пространства в -пространство. Для того чтобы эта операция была законной, необходимо чтобы не обращалась в нуль ни на каком конечном участке изменения переменной .

Таким образом, мы приходим к выводу, что если известна аппаратная функция (или импульсный отклик) спектрального прибора, какой бы странной она ни была, а также измерена реакция этого прибора на некоторый входной процесс, то спектр входного сигнала можно определить точно, решив интегральное уравнение (2.7). Это утверждение противоречит опыту практической работы, который показывает, что вид аппаратной функции существенно сказывается на способности прибора правильно передать форму спектра.

Приведу пример аналогичного противоречия между нашим теоретическим выводом и практикой. Всем известен замечательный оптически инструмент, который называется камера-обскура (рис. 2.7 а). Предположим, что дырочка в камере достаточно велика, чтобы не учитывать влияние дифракции. Показанное на нашем рисунке изображение стрелки окажется несколько размытым из-за того, что аппаратная функция камеры-обскуры не есть точка. Она представляет собой однородно освещенный кружок – это пятнышко, которое получится, если в качестве объекта взять светящуюся точку (рис. 2.7, б).

	а
	б
Рис. 2.7

Теперь мы знаем вид аппаратной функции (ядро преобразования в формуле (2.7)). Измерим распределение освещенности в изображении (в нашем случае – стрелки), которое дает камера-обскура на рис. 2.7 а. Решая интегральное уравнение, получаем, используя данные измерений, точное изображение нашей стрелки.

Расширим отверстие камеры-обскуры, изображение размывается сильнее. Повторим описанные измерения и вычисления. Вновь получаем точное изображение стрелки. Кабинет, где я сейчас сижу за письменным столом, – это большая камера-обскура с отверстием, ограниченным рамой окна. Окно «смотрит» на тонкие ветки березы, растущей рядом. Используя приведенные выше рассуждения, я прихожу к выводу, что измерив почти однородное распределение освещенности на стене, противоположной окну, и проделав дополнительное измерение освещенности, созданной на стене вспомогательным точечным источником, я могу получить точное изображение веточек березы. Вывод явно противоречит интуиции и опыту. В чем же дело?

Противоречие устраняется, если учесть неизбежные и принципиальные случайные погрешности измерений. Погрешности эти могут быть связаны как с тем, что обычно называется «ошибками измерений», со случайными изменениями яркости источника, так и вызываться квантовой природой происходящих в источнике и спектрометре процессов.

Рассмотрим теперь общую и, как мне кажется, достаточно полную схему спектроскопического опыта (рис. 2.8), учитывающую наиболее важные источники помех измерениям.

Рис. 2.8

Излучение от источника (исследуемого, или вспомогательного) проходит через оптическую систему формирования пучка (осветительную систему) и прозрачную среду, которой может быть и вакуум, и атмосфера, и волокно световода. При исследовании спектров поглощения на пути распространения пучка устанавливается кювета с анализируемым веществом. После осветительной системы излучение попадает на входную апертуру спектрального прибора. Иногда на одном из участков пути излучения от источника до входа в спектрометр устанавливается устройство адаптивной оптики. Оно особенно необходимо при астрономических наблюдениях, но когда такие устройства станут достаточно доступными, его можно будет использовать, например, с нестабильным в пространстве дуговым источником света.

Претерпев пространственно-временное преобразование оптической системой собственно спектрального прибора, излучение попадает в систему регистрации. Она может быть одноканальной, или многоканальной, это может быть счетчик фотонов, тепловой, или оптико-акустический фотоприемник, фотопластинка, CCD-матрица и т. п. Для каждого диапазона длин волн имеется свой набор типовых фотоприемников, обсуждение свойств которых не входит в задачу книги.

Следующим элементом любой спектроскопической системы является устройство хранения и обработки полученной информации, которая «выдается» экспериментатору, допустим, на дисплее компьютера, или в виде соответствующей распечатки (в том числе в виде пространственных распределений яркости в условных цветах).²

Все элементы спектральной системы неразрывно связаны между собой. В процессе написания предыдущего варианта книги это считалось само собой очевидным и не подчеркивалось специально, соответствующие замечания делались только в ходе лекций. Однако, столкнувшись с системой проектирования и планирования производства спектрального оборудования, я понял, что на этом обстоятельстве нужно делать особый акцент. По счастью, сотрудники большинства фирм, выпускающих спектральные приборы, давно поняли это единство, и редко можно встретить ситуацию, когда задача выпуска спектрального прибора отъединяется от задачи регистрации излучения и создания программного обеспечения работы всей системы в целом.

Заключительный этап любого опыта – это «принятие решения». На этот момент почему-то в обычной практике (в том числе, спектроскопической) внимание обращают недостаточно, а ведь в показанной на рис. 2.8 схеме – это единственный нелинейный сегмент всей системы.

Приведу два примера. В спектральном анализе есть понятие «последние линии» элемента. Это спектральные линии, которые при уменьшении концентрации вещества в пробе «исчезают» последними. Соответствующая задача, в современной терминологии, непосредственно связана с проблемой обнаружения сигнала. Само понятие появилось во времена фотографической регистрации эмиссионных спектров. Когда речь идет о последних линиях, подразумевается вполне конкретный вид опыта. Обычно источник света был дуговым, а регистрация спектра осуществлялась с помощью фотопластинки, причем стандартное время экспозиции (определенное не слишком точно) составляло несколько секунд и обработка фотопластинки производилась в стандартном проявителе. Спектр источника содержит множество линий, не относящихся к исследуемому веществу, но создающих общий фон в приборе и, соответственно, на фотопластинке. Добавьте к этому вуаль фотоэмульсии. Потемнение фотопластинки имеет гранулированный случайным образом характер, что создает флюктуации фона, в которых «тонет» слабая линия. Мы провели опыт и не обнаружили последнюю линию элемента. Делаем вывод: данный элемент в пробе отсутствует. Принято решение. (Даже более точная формулировка: «С доверительной вероятностью NN% концентрация элемента в пробе не превосходит ММ%» тоже есть принятие решения.) Верное ли это решение? Другой метод регистрации, другой спектральный прибор, другой метод возбуждения источника могут показать наличие искомой линии и позволить измерить концентрацию вещества.

Второй пример – это уверенное «ДА» Джованни Скиапарелли на вопрос о существовании «марсианских каналов», подтвержденное многими другими астрономами XIX века. Наблюдения проводились на уровне разрешающей способности имевшихся оптических инструментов и глаза исследователя. Только принципиальное изменение техники измерений (наблюдений), резко повысившее разрешающую способность приборов, позволило так же уверенно сказать «НЕТ».

Данные примеры – это всего лишь «оптическая вариация» на тему связи задач обнаружения сигнала и измерения его параметров, обсужденная в книге А.А.Харкевича «Борьба с помехами» [6]. Позволю себе привести длинную цитату из нее (с. 43), поскольку более ясного изложения я не нашел нигде. «…Всякое обнаружение неразрывно связано с измерением тех или иных параметров. Более того: обнаружение это, в сущности, и есть измерение, хотя, может быть, и грубое. В самом деле: когда мы обнаруживаем сигнал, то обнаруживаем его не вообще, а в определенной полосе частот, в определенном интервале времени, в определенном телесном угле. Интервалы, в которых заключены эти параметры, определяют точность, с которой они измеряются. В дальнейшем, если требуется, точность может быть повышена…. Эти соображения можно пояснить следующим примером. Пусть мы собираемся измерить длину бруска с помощью линейки с делениями. Мы совмещаем нуль шкалы с одним концом бруска; измерение же сводится к тому, что мы обнаруживаем второй конец бруска между n-ным и (n+1)-м делениями шкалы. При самом грубом измерении мы имеем в своем распоряжении мерную линейку определенной длины l. Иначе говоря, мы имеем линейку, на которой имеется всего два деления 0 и l. В этом случае мы можем лишь отвечать на вопрос о том, больше или меньше длина измеряемого бруска по сравнению с длиной l. Такая ситуация ближе всего к тому, что понимается обычно под обнаружением сигнала.» Прошу извинить читателя за длинную цитату, но здесь – ни прибавить и ни убавить…

Будем считать, что все имеющиеся помехи действуют аддитивно по отношению к исследуемому сигналу, тогда, следуя А.А.Харкевичу, мы будем называть их шумом, и для того чтобы учесть их влияние, добавим в уравнение (2.7) слагаемое , описывающее некоторый стационарный случайный процесс:

.

(2.10)

Проблема определения спектра входного процесса (даже при точно известной аппаратной функции) становится в этом случае типично статистической задачей:

по совокупности измеренных данных мы должны дать наилучшую оценку (в статистическом смысле) спектра входного сигнала.

Вопросы оценки параметров сигнала при наличии случайных помех изучены очень глубоко. Полученные выводы позволяют теперь, задним числом, дать математическое подтверждение правильности тех мер, которые использовались в оптике на основании качественных соображений и критериев. Что же это за критерии и каковы эти соображения?