7.7. Интерполяция спектра по данным дискретных отсчетов.

До сих пор мы изучали вопрос, к каким эффектам в спектре приведет дискретизация интерферограммы. Теперь предстоит рассмотреть обратную задачу: что делать с полученным набором дискретных отсчетов спектра. Каким изменениям интерферограммы соответствует дискретизация спектра? Как найти амплитуду спектра в промежутках между этими дискретными отсчетами?

Точно так же, как равномерная дискретизация интерферограммы с шагом привела к периодическому повторению исходного спектра, дискретизации спектра с шагом соответствует повторение (продолжение) всей интерферограммы с периодом . При этом преобразование интерферограммы имеет вид:

(7.16)

Вернемся немного назад. Реальная, ограниченная интервалом интерферограмма была получена нами из идеальной, бесконечно длинной, путем усечения ее в точках , она имеет длину . Чтобы повторяющиеся в пространстве копии интерферограммы не перекрывались, а только касались друг друга, интервал между отсчетами в пространстве частот должен быть не более .

В соответствии с (7.16) мы получили новую, бесконечно длинную интерферограмму, которая на интервале совпадает с измеренной. Для того чтобы из вновь получить исходную, ее нужно «обрезать» в точках . Эту операцию мы, как и раньше, осуществим, умножая на функцию-прямоугольник:

В пространстве частот (т. е. в спектре) этой операции соответствует свертка фурье-образа , который представляет собой совокупность равноотстоящих дискретных отсчетов, с Фурье-образом функции-прямоугольник, т. е. :

(7.17)

Итак, чтобы восстановить непрерывную функцию со спектром, ограниченным интервалом по системе ее дискретных отсчетов, достаточно определить совокупность ее дискретных отсчетов, взятых с интервалом , и произвести затем интерполяцию в соответствии с формулой (7.17).

В более общем случае, когда известно, что спектр ограничен интервалом , число точек в интерферограмме, необходимое для восстановления спектра, равно . Замечу, что в реальности большие амплитуды побочных экстремумов функции требуют более тщательного выбора интервалов отсчетов, чем в описанном выше процессе, а на краях восстановленного спектра возможно появление значительных амплитудных ошибок.

7.8. Влияние систематических ошибок измерения интерферограммы на форму аппаратной функции.

До сих пор мы предполагали, что имеем дело с идеальным интерферометром. При работе такого прибора должна получаться интерферограмма совершенно симметричная относительно точки . Связь между нею и спектром определяется выражением:

.

Вместе с тем, элементы реального интерферометра могут обладать дисперсией, причем дисперсия в различных его плечах не компенсируется (иногда преднамеренно). Это приводит к зависимости начальной фазы от частоты:

.

Фазовые ошибки дает и неточность настройки интерферометра, причем роль таких погрешностей возрастает с увеличением . В больших современных фурье-спектрометрах эти ошибки устранены, в значительно мере, в результате применения систем обратной связи (о необходимости применения которых речь шла уже во Введении) и активной (пока – не адаптивной еще) оптики. Однако в лабораторных макетах и небольших «полевых» устройствах роль подобных погрешностей может быть велика.

Наиболее часто встречающиеся и вместе с тем наиболее простые для учета систематические ошибки связаны с неточным определением нулевой разности хода (начала интерферограммы). Если вместо точки за начало принята точка , то , в интерферограмме имеется асимметрия. Для уменьшения влияния этой ошибки при математической обработке (здесь, в частности, проявляется преимущество двухступенчатой процедуры определения спектра) отдельно вычисляют фазовый спектр, что позволяет внести коррекцию в саму исходную интерферограмму.

В ряде случаев, особенно в системах с быстрым перемещением зеркала, измерить интерферограмму на интервале, симметричном относительно , просто невозможно. Форма аппаратной функции претерпевает при этом очень сильные искажения. Сравнивая вид для симметричной (рис. 7.15, а) и асимметричной (рис. 7.15, б) интерферограмм,

	а
	б
Рис. 7.15

можно видеть, что изменяются положение, амплитуда и знак побочных максимумов. Одновременно меняется и ширина центрального пика аппаратного контура. Все это приводит к очень сильным искажениям спектра. Например, если при вычислениях игнорировать асимметрию интерферограммы, получим спектр, показанный на рис. 7.16, а, в то время как истинный спектр имел вид, приведенный на рис. 7.16, б.

	а
	б
Рис. 7.16

Как можно качественно объяснить изменения, показанные на двух последних рисунках, пользуясь используемыми нами методами? Для этого нужно немного пофантазировать на тему: как получить из симметричной интерферограммы асимметричную. Пусть весовая функция имеет вид прямоугольника, центр которого смещен относительно нулевой разности хода (рис. 7.17, а). Его можно представить как сумму двух функций, показанных на

	а
	б
	в
Рис. 7.17

рис. 7.17, б и 7.17, в. Первая из них симметрична, и при выполнении преобразования Фурье интерферограммы монохроматического колебания с частотой сведется к косинус-преобразованию, формируя составляющие аппаратной функции, близкие по форме к и центрированные соответственно на частоты . Вторая компонента антисимметрична, она оказывается ненулевой только для синус-преобразования также центрированного на частоты , но имеющие несколько отличную от первой компоненты ширину, которая, к тому же, модулирована по амплитуде синусоидой с частотой, определенной полушириной малых (на рис. 7.17, в) прямоугольников. Эта составляющая сдвинута по фазе на по отношению к первой и имеет переход через нуль на частотах , что и вызывает появление резкой асимметрии аппаратной функции, сопровождаемое серьезными фазовыми искажениями.

Методы учета фазовых ошибок развиты сейчас уже достаточно хорошо, коррекция интерферограмм осуществляется надежно. Вместе с тем, при малых уровнях шума можно вообще обойтись без расчета фазового спектра и работать с сильно искаженными интерферограммами. Например, можно рассчитать автокорреляционную функцию интерферограммы и затем вычислить ее спектр. Извлекая квадратный корень из результата, получим искомый спектр .

Иной метод основан на вычислении раздельно синусного и косинусного фурье-образа интерферограммы. Корень квадратный их суммы квадратов этих спектров дает необходимую информацию. Оба метода не зависят от выбора точки начала отсчета интерферограммы и ее симметричности. Вместе с тем, оба эти пути сопряжены с несколькими нелинейными преобразованиями, поэтому могут хорошо работать только при высоком отношении сигнал/шум в интерферограмме. Нелинейность, как уже было отмечено ранее, приводит к увеличению уровня шумов и подавлению слабых компонентов спектра сильными.

В заключение рассмотрим еще одну ошибку, которая сейчас потеряла частично свое значение в связи с совершенствованием радиотехнических измерительных систем. Речь идет о возможности амплитудного ограничения сигнала, особенно при измерении спектров поглощения в широком диапазоне частот. Наиболее вероятно появление этой ошибки при измерении амплитуды интерферограммы в точке . Как следует из рассмотренных в параграфе 7.1 общих свойств интерферограммы, именно здесь наблюдается абсолютный максимум. Предположим, что характеристика регистрирующего тракта линейна вплоть до некоторого значения, после чего выходной сигнал не меняется. Рассмотрим рис. 7.18, который иллюстрирует характер изменения формы сигнала (интерферограммы) при преобразовании участка спектра постоянного в полосе и содержащего

	а
	б
	в
	г
	д
Рис. 7.18

полосу поглощения, в которой интенсивности спектральных составляющих падают практически до нуля. Зарегистрированная форма соответствующей интерферограммы описывается функцией, показанной на рис. 7.18, а, пунктир дает представление об истинной форме (рис. 7.18, б) интерферограммы в отсутствие ограничения амплитуды. Подобное «усечение» ее максимума вследствие нелинейности характеристики измерительного тракта приведет к потере информации о полной энергии, кроме того, произойдет общее искажение спектра.

Для целей качественного описания этого искажения достаточно представить искаженную интерферограмму в виде суммы истинной (рис. 7.18, б) и «отрезанной» верхушки, ее нужно взять с отрицательным знаком (рис. 7.18, в). Полученный при обработке искаженной интерферограммы спектр также будет разностью двух фурье-образов: истинного спектра и спектра верхушки. Поскольку ширина ее мала, спектр будет представлять собой, приближенно, широкий отрицательный «колокольчик», сопровождаемый медленными колебаниями (поскольку соответствующая функция имеет разрыв первой производной, убывание побочных максимумов будет достаточно быстрым). Таким образом, в отличие от истинного спектра (рис. 7.18, г) искаженная его форма выглядит приблизительно так, как показывает рис. 7.18, д. Визуально, ошибки невелики, но наличие сильной полосы поглощения приводит к большой систематической ошибке при определении отношения амплитуды в центре линии к общему уровню сплошного спектра (возможно даже появление «отрицательных» поглощений, как это показано на рис. 7.18, д)).

Одним из путей уменьшения эффекта, приводящего к этой погрешности, является введение в одно из плеч интерферометра прозрачного материала, обладающего значительной дисперсией. В этом случае нулевой разности хода для излучения с разными частотами будет соответствовать разное положение подвижного зеркала. Центральный пик интерферограммы расщепляется на несколько колебаний (происходит его «чирпирование») и уменьшается по амплитуде. Соответственно, уменьшается вероятность перегрузки измерительной системы. Воздействие дисперсии на структуру интерферограммы учитывается при дальнейшей математической обработке.

7.9. Влияние дифракции на результаты измерений.

Все проделанные выше выкладки и анализ неявно предполагали, что размеры зеркал и сечение пучков ничем не ограничены. Вместе с тем, в реальном приборе волновые фронты ограничены действующей диафрагмой. Происходящая при этом дифракция волн изменяет форму сигнала.

Вернемся к сделанному в начале раздела замечанию и начнем с известного, но основательно забытого вывода теории дифракции. Он относится к связи между формой сигнала, переносимого плоской волной , освещающей отверстие в поглощающем плоском экране, и структурой сигнала на очень большом удалении от экрана. Как было показано в [13, 40] и независимо получено в [41] для отверстия круглой формы радиуса , на оси , проходящей через центр отверстия, верно асимптотически следующее простое соотношение:

,

(7.18)

где – расстояние от экрана до точки наблюдения и – падающая волна.

Пользуясь основными качественными свойствами фокусирующих систем и прямым расчетом, в работах [42, 43] было установлено, что совершенно аналогичная формула верна и для точки заднего фокуса оптической системы при -образном сигнале на входе. Если входная сферическая волна описывается соотношением , где – текущий радиус волны, то непосредственно в точке фокуса:

.

(7.19)

Здесь – начальный радиус сферической -волны и вновь – радиус отверстия в экране. Как мы видим, формулы (7.18) и (7.19) совершенно идентичны друг другу. Это означает, что при регистрации сходящейся волны на выходе интерферометра вместо входного сигнала мы будем иметь его производную по времени. Во всех рассмотренных ранее преобразованиях сигналы вида должны быть заменены на , а вместо функции везде будет фигурировать ее производная . Для гармонического колебания – монохроматической волны – происходит всего-навсего замена синуса на косинус (или наоборот), а для сложной функции последствия могут быть куда более серьезными.

Рассмотрим несколько следствий из соотношений (7.18) и (7.19), к которым приводит их применение при анализе принципов работы фурье-спектрометра в варианте, когда размеры входной апертуры очень малы. Будем предполагать, что единственной действующей диафрагмой, являющейся причиной возникновения дифракционных эффектов, служит круглая диафрагма , установленная в непосредственной близости к выходному объективу и ограничивающая радиус сечения пучка. Импульсный отклик интерферометра запишем, взяв за начало отсчета времени середину интервала между двумя импульсами , тогда

.

(7.20)

Это соотношение означает, что при наличии на входе сложного процесса описывающая его функция дифференцируется по времени, и на выходе будет наблюдаться сумма двух производных сигнала по времени, сдвинутых на друг относительно друга.

Воспользуемся свойствами преобразования Фурье: для того чтобы найти спектр производной сигнала на выходе интерферометра достаточно умножить исходный спектр на . Соответственно, в спектре мощности возникает множитель . Этот множитель входит в основной интеграл, связывающий форму спектров выходного и входного процессов. Вновь опуская постоянные множители, величина которых определяется при калибровке прибора, получаем вместо (7.6):

(7.21)

Соотношение (7.21), внешне мало отличаясь от принятого в интерферометрии и фурье-спектроскопии, имеет следствием изменение всего смысла интерпретации функции, полученной в результате измерений: вместо истинного спектра обработка интерферограммы дает величину .

В практике оптических измерений рассмотренное преобразование сигнала и его спектра осуществляется как при исследовании неизвестного источника излучения, так и при калибровке прибора по эталонному источнику. Деление одного спектра на другой приводит к сокращению пропорциональных частоте сомножителей, и систематическая ошибка измерения спектрального распределения мощности излучения пропадает. Тот же эффект происходит и при измерении спектров поглощения. Указанная ошибка играет малую роль и при исследовании источников в узком спектральном интервале (или квазимонохроматических источников), так как соответствующие сомножители остаются практически постоянным. Иное дело, если фурье-спектромер работает в широком спектральном диапазоне, а его параметры определяются исчислением по данным измерений пропускания отдельных элементов. В конечные результаты может быть внесена существенная систематическая ошибка.