7.6. Дискретизация интерферограммы.

На протяжении этой книги несколько раз высказывалась мысль о том, что, пользуясь реальными физическими приборами, мы можем разрешить в спектре, или в пространственной картинке лишь ограниченное количество точек. Распространение цифровых методов регистрации и обработки изображений сделало эту мысль тривиальной и всем хорошо понятной и привычной (вспомните дисплей компьютера, экран светодиодного, или LCD телевизора). Приняв ее за основу, мы приходим к заключению, что и в фурье-спектроскопии вычисление спектра в бесконечном множестве точек – бессмысленная задача. Мы можем сформулировать основные вопросы, требующие прямого ответа:

1. С каким интервалом надо производить отсчеты интерферограммы, чтобы не потерять содержащуюся в ней информацию о спектре?

2. Сколько независимых дискретных точек в спектре при этом мы получим?

3. Как производить интерполяцию спектра в промежуточных точках?

Чтобы получить ответ на все эти вопросы следует обратиться к выводам теории информации для сигналов с ограниченным спектром, точнее – к результатам теории Котельникова и Шеннона.

Предположим, что фурье-спектрометр регистрирует интерферограмму излучения, о котором a’priori известно, что его спектр ограничен сверху и лежит в интервале . Будем предполагать, что спектр вычисляется в точках, находящихся на равном расстоянии друг от друга (рис. 7.13, а). Отсчеты интерферограммы будем производить также с равными промежутками в точках (рис. 7.13, б). Тогда при предельной

	а
	б
Рис. 7.13

разности хода расстояние между точками отсчета интерферограммы есть . Связь между спектром и интерферограммой определяется теперь соотношением

(7.15)

Для целей качественного анализа, которым мы все время пользуемся, дискретное суммирование не слишком удобно, но мы можем перевести задачу на язык, подобный языку непрерывных функций, используя гребенку Дирака. Чтобы заменить непрерывную функцию на систему дискретных отсчетов, достаточно использовать в качестве весового множителя для гребенки. Множество отсчетов интерферограммы мы тогда представляем как:

.

Такая операция позволяет суммирование в (7.15) заменить интегрированием:

Данный интеграл можно рассматривать как фурье-преобразование стоящего в квадратных скобках произведения функций. Выполнив преобразование этого произведения, мы получим в пространстве частот свертку фурье-образа с фурье-образом гребенки. Первый – это не что иное как , рис. 7.14, а. Второй – гребенка Дирака (в пространстве частот) с интервалом между компонентами спектра (рис. 7.14, б) Таким образом, мы имеем:

Свертка спектра с любой из набора компонент гребенки эквивалентна смещению начала координат в спектре на величину , т. е. в пространстве частот мы имеем периодическое повторение спектра (рис. 7.14, в). Чем чаще были сделаны отсчеты интерферограммы (чем меньше величина ), тем больше величина периода и тем реже расставлены спектры .

	а
	б
	в
	г
Рис. 7.14

Нас, однако, интересует, что будет происходить, если увеличивать интервалы между отсчетами интерферограммы. Естественно, что период повторения спектра при этом уменьшается, и может возникнуть ситуация, когда отрицательное крыло -го спектра начнет перекладываться с положительным -ного. Оптимальным для нас будет случай, когда соседние спектры только еще соприкасаются – этому случаю и будет соответствовать оптимально-большой интервал отсчетов интерферограммы. Такой вариант показан на рис. 7.14, г, из него ясно, что . Количество отсчетов интерферограммы при этом . Это число в 2 раза больше, чем число периодов самой высокочастотной компоненты интерферограммы, укладывающейся на всей ее записи .