7. Мультиплекс-спектрометры. Элементы фурье-спектроскопии.

Все спектральные приборы, рассмотренные нами в предыдущих главах, независимо от того, одно- или многоканальными они были, относятся к той группе устройств, которую мы изобразили схемой рис. 2.3 а. т. е. к группе перестраиваемых фильтров. Даже в только что рассмотренных нами спектрометрах с преобразованием Адамара излучение сначала фильтровалось в пространстве, кодировалось, а уже потом смешивалось вновь в точно известной нам комбинации. Вместе с тем существует и другая возможность построение спектрометра, представленная схемой рис. 2.3 б. К рассмотрению этих приборов мы и переходим.

Напомним, что для них также характерна двухступенчатая процедура измерения спектра мощности входного процесса. На первой стадии измеряется его автокорреляционная функция и лишь на второй путем вычисления фурье-преобразования получается спектр его мощности. Если в классическом спектрометре фурье-преобразование происходит в самой оптической части прибора и является результатом действия физических законов распространения света в системе, то в фурье-спектрометре основным результатом работы оптической системы служит формирование автокорреляционной функции сигнала.

7.1. Основные принципы фурье-спектроскопии.

В большинстве существующих фурье-спектрометров используются двухлучевые интерферометры типа интерферометра Майкельсона. Как было показано в главе 3 первого раздела, амплитудный отклик такого интерферометра на короткий импульс (его передаточную функцию) можно представить в виде

где — геометрическая разность хода двух лучей в интерферометре. Оставим пока в стороне вопросы, связанные с оптическим дифференцированием по времени при фокусировке выходящего излучения и рассмотрим слагаемое в квадратных скобках. Очевидно тогда, что для сложного сигнала отклик интерферометра будет иметь вид (подчеркну еще раз: пренебрегая дифференцированием):

(7.1)

Предположим, что на входе интерферометра действует стационарный световой поток от некогерентного во времени источника, т. е. стационарный случайный процесс. Вычислим среднюю по времени мощность излучения, падающего на всеволновый детектор, стоящий на выходе интерферометра,

(7.2)

Обозначим операцию усреднения по времени угловыми скобками, тогда, подставив (7.1) в (7.2), имеем:

(7.3)

где . Из предположения о стационарности процесса следует

, .

В этом случае соотношение (7.3) преобразуется к виду

(7.4)

Таким образом, сигнал на выходе интерферометра должен состоять из двух частей: первая — постоянная, пропорциональная полной мощности излучения на входе, вторая — пропорциональная вещественной части автокорреляционной функции входного сигнала. Стоящая в (7.4) величина имеет смысл задержки сигнала в одном из плеч интерферометра Майкельсона по отношению к другому. Она определяется разностью хода между пучками и равна .

Для того чтобы понять, как, зная вещественную часть автокорреляционной функции, можно найти спектр сигнала, воспользуемся выведенным ранее соотношением (5.3) для монохроматического излучения, нормировав его на единицу в максимуме:

(7.5)

Эта формула описывает отклик интерферометра на монохроматическое излучение с частотой при разности хода лучей в интерферометре . Как следует из (7.5), изменение разности хода во времени по линейному закону при фиксированной частоте настройки приводит к амплитудной модуляции светового потока, частота модуляции равна , а глубина в соответствии с (7.5) составляет 100%. Установив после фотоприемника резонансный усилитель, настроенный на частоту , мы получаем возможность измерять амплитуду спектральной компоненты независимо от других. При этом разным значениям частоты излучения соответствуют разные частоты гармонической модуляции. Иначе говоря, компоненты спектра излучения кодируются частотами гармонических колебаний выходного сигнала фотоприемника. Применив узкополосный усилитель, мы создали интерференционный монохроматор, перестройка которого по частотам может осуществляться либо изменением скорости движения зеркала при фиксированной частоте настройки усилителя, либо перестройкой усилителя на разные частоты ¹⁵.

Если световой поток, падающий на прибор, имеет сложный спектральный состав со спектральной плотностью мощности излучения , то для элементарного участка спектра в диапазоне имеем:

Результирующий сигнал на выходе интерферометра получим, интегрируя по частотам:

Обозначим и , тогда

(7.6)

Первый интеграл полученной суммы описывает полную мощность светового потока и является постоянной величиной, а второй зависит от разности хода лучей в интерферометре. При два интеграла совпадают, и наблюдается абсолютный максимум светового потока, то же следует и из соотношения (7.4).

Типичная (нормированная) зависимость выходного сигнала двухлучевого интерферометра от разности хода лучей показана на рис. 7.1.

Рис. 7.1

Уравнение (7.6) можно сопоставить теперь с выведенным ранее соотношением (7.4). Поскольку запаздывание и разность хода связаны очевидным соотношением , становится ясным, что вещественная часть автокорреляционной функции пропорциональна переменной составляющей отклика интерферометра. Только эта переменная составляющая и представляет интерес для определения спектра сигнала в относительной мере. Абсолютную привязку можно осуществить, измерив в абсолютной мере величину с помощью того же интерферометра.

Переменную составляющую сигнала принято называть интерферограммой. Следовательно, интерферограмма определяется равенством:

,

или

.

Таким образом, интерферограмма представляет собой вещественную часть фурье-образа спектра мощности исследуемого источника.

Для удобства дальнейшего анализа, разложим спектр на четную и нечетную составляющие, при этом будем использовать индексы, принятые в молекулярной спектроскопии. Введем (см. рис. 7.2) и .

Рис. 7.2

Нетрудно видеть, что исходный спектр получается из спектров и следующим путем: .

Найдем фурье-образ :

.

Поскольку интерферограмма определяется вещественной частью фурье-образа , ей соответствует четная часть спектра — :

(7.7)

Для того чтобы найти спектр, необходимо выполнить обратное преобразование:

(7.8)

Таким образом, измерение интерферограммы дает возможность получить информацию обо всем спектре одновременно, выполнив ее преобразование Фурье.