6.2.2. Отношение сигнал/шум в спектре.

Для того чтобы оценить отношение сигнал/шум в спектре, полученном в результате преобразования системы отсчетов сигнала в описанном приборе, рассмотрим соотношение (6.3). Перепишем его в форме: . Разрешая это уравнение относительно вектора , мы должны иметь в виду, что компоненты нам неизвестны. Единственная информация, которой мы располагаем, это равенство нулю средних значений компонентов этого вектора. Для того чтобы получить оценку (в статистическом смысле) , положим , тогда

(6.4)

Вычисленные таким образом компоненты вектора отличаются от истинных из-за действия шумов. Подставив в явном виде выражение для в уравнение (6.4), получим . Первое слагаемое этой суммы представляет собой истинное значение компонентов вектора , т. е. искомый сигнал. Второе — ошибка измерений, или шум. Поскольку математическое ожидание каждого из компонентов вектора равно нулю, математическое ожидание второго слагаемого также равно нулю. Найдем теперь его дисперсию . Возьмем одну из составляющих вектора . Обозначим компоненты матрицы , тогда

.

Строки и ряды матрицы Адамара ортогональны, в силу этого все составляющие шума статистически независимы между собой. Как известно, дисперсия суммы при этом будет равна сумме дисперсий отдельных составляющих. Учитывая, что все элементы по модулю равны , получаем следующую оценку дисперсии шума:

.

Сделаем еще одно упрощающее предположение о характере шума. Будем рассматривать только такой случай, когда дисперсии случайных величин равны между собой. Обозначив , получим

.

Таким образом, отношение сигнал/шум для -го компонента спектра, которое получается после декодирования, выражается следующим соотношением:

.

Обратим внимание на то, что — это отношение сигнал/шум в спектре при обычной последовательной процедуре измерений в классическом монохроматоре. Тогда выигрыш спектрометра с преобразованием Адамара по сравнению с классическим спектрометром составляет

.

При .

Близкий результат можно получить из простых рассуждений. Проведя измерений, мы накопили энергию сигнала в больше, чем при однократном измерении (не забывайте, что половина маски непрозрачна). Уровень шума от величины сигнала не зависит, следовательно, среднеквадратичная ошибка уменьшилась в раз, и выигрыш в отношении сигнал/шум равен . Отличие от полученной выше более точной формулы ничтожно.

Очевидно также, что если шум будет возрастать с увеличением сигнала, то преимущества спектрометра с преобразованием Адамара будут потеряны. Это обстоятельство ограничивает (так же как в сисаме и растровом монохроматоре) область спектра, в которой перспективно применение таких устройств инфракрасным излучением, либо очень малыми световыми потоками в видимой и УФ-областях спектра.