6.2. Мультплекс-спектрометры. Приборы с преобразованием Адамара.

6.2.1. Применение дискретных кодов для многоканальной регистрации спектров.

История создания и развития многоканальных приборов может служить прекрасным примером того, как достижения в одной из областей науки или техники вызывают пересмотр позиций и быстрое движение вперед в других. Исходя из последовательности во времени и глубины исторических корней, первой следовало бы рассмотреть спектроскопию с применением преобразования Фурье. Но мы все-таки сначала обратимся к модификации обычного спектрометра, за которой утвердилось название «спектрометр с преобразованием Адамара» ¹⁴. Принципы, лежащие в основе действия этих приборов, настолько просты, что приходится лишь удивляться, почему первые работы появились лишь в 1968 году. Свидетельством того, насколько «созрела» к тому времени проблема, служит почти одновременная независимая публикация двух различных групп ученых [30, 31].

Одним из фундаментальных общих выводов, сделанных нами в разделе, посвященном аппаратной функции спектрометра, было заключение, что пользуясь реальными приборами и источниками света, мы не можем разрешить в спектре сколь угодно близко расположенные частотные составляющие. Примем это теперь за основной постулат. Тогда исследуемый конечный участок спектра мы можем представить в виде счетного множества элементарных интервалов (рис. 6.1 а). Будем полагать, что спектр

а	б
Рис. 6.1

ограничен и перенумеруем все составляющие, присвоив им индексы от до . Таким образом, мы произвели «дискретизацию» спектра и вместо непрерывной функции получили набор дискретных отсчетов (рис. 6.1 б). Обозначим мощность составляющей спектра с частотой .

Представим теперь, что все это проделано для классического монохроматора. Непрерывное сканирование спектра заменяется дискретным. Отсчет на выходе спектрометра, полученный при измерении мощности -го спектрального интервала, обозначим через . Тогда

,

(6.1)

где — постоянный коэффициент, характеризующий чувствительность прибора к излучению данной частоты. Для простоты будем считать, что наш спектрометр обладает постоянной чувствительностью во всем исследуемом диапазоне частот, т. е. для всех . Совокупность соотношений (6.1), описывающая спектр, является простейшей системой линейных уравнений. Решение этой системы относительно распределения спектральной плотности мощности светового потока (собственно цели наших измерений) есть

.

Наборы значений и можно считать компонентами многомерных векторов и . Связь между этими векторами можно представить в виде произведения:

,

(6.2)

где — диагональная матрица:

.

Интересующий нас вектор находим, умножая (6.2) на обратную матрицу . Матрица — также диагональная, компоненты ее диагонали одинаковы и равны .

Записав связь между векторами и в форме уравнения (6.2), мы сразу получаем возможность для дальнейших обобщений. До тех пор, пока мы имеем дело с абсолютно точными измерениями, диагональная матрица имеет несомненное преимущество перед другими, обусловленное простотой обратного преобразования для определения спектра источника. В действительности же измерения производятся с некоторыми случайными ошибками. Это означает, что вместо вектора мы получаем на выходе спектрометра некоторый вектор , отличающийся от истинного. Будем считать, что действующие в системе регистрации шумы аддитивны и имеют математическое ожидание амплитуды равное нулю. Тогда связь между векторами и можно представить в виде:

,

(6.3)

где — случайный вектор.

Теперь можно ставить задачу об отыскании матрицы такого вида, чтобы она обеспечивала несмещенную оценку вектора и максимальное отношение сигнал/шум для измеренного спектра. Задачи этого рода и приводят нас к необходимости пользоваться теорией кодирования. В частности, выдвинутое нами требование будет означать, что матрицу надо искать среди так называемых помехоустойчивых кодов. Задолго до того как эта проблема возникла в оптике, подобная задача была решена в теории связи. Подобная процедура измерений изучалась и как задача измерения веса большого числа объектов. Доказано [32], что при равноточных взвешиваниях можно существенно уменьшить результирующую случайную ошибку, взвешивая объекты группами.

Возьмем один из компонентов вектора . Этот компонент в соответствии с уравнением (6.2) представляет собой линейную комбинацию интенсивностей составляющих спектра:

С точки зрения конструкции спектрального прибора это означает, что излучение, соответствующее -му компоненту спектра, должно быть пропущено через некоторый фильтр с пропусканием и затем направлено на общий для всех составляющих фотоприемник, в котором формируется сигнал . Очевидно, что из всех возможных матриц нам придется выбрать только такие, в которых . Реализовать пропускание фильтра больше единицы и меньше нуля технически очень сложно (можно вообразить себе миниатюрные усилители света и фазовращатели, но оправдать такое усложнение вряд ли удастся). Сузим круг возможных матриц в еще большей степени. Для этого ограничимся только такими преобразованиями, в которых равно либо единице, либо нулю. В качестве спектрометра возьмем спектрограф, тогда искомый фильтр можно представить себе в виде маски, набранной из прозрачных и непрозрачных полосок, ширина которых равна минимально разрешимому интервалу спектра на выходной фокальной поверхности спектрометра.

Схема прибора теперь выглядит следующим образом (рис. 6.2). В классическом

Рис. 6.2

спектрографе на месте фотопластинки устанавливается маска . Затем все излучение, прошедшее через маску, собирается на один фотоприемник. Сигнал, возникающий в нем, измеряется и запоминается. Таким образом формируется -тый компонент вектора . После этого маска заменяется на новую, соответствующую -й строке матрицы , и регистрируется , соответствующее новой линейной комбинации элементов спектра. Сделав измерений, мы можем получить полную систему уравнений и разрешить ее относительно вектора .

Замена масок — технически сложная процедура, особенно если иметь в виду, что мы хотим измерить спектр источника не в двух-трех, а в нескольких сотнях точек, по крайней мере. Для того чтобы упростить техническую реализацию устройств, использующих дискретные коды, достаточно сузить класс возможных матриц еще больше и потребовать цикличности матрицы. Условие цикличности означает, что каждая строка матрицы может быть получена из предыдущей путем сдвига всех компонентов на один влево (или вправо). Вышедший за пределы матрицы -й компонент переставляется на освободившееся с краю место. В качестве примера мы можем взять матрицу компонентов:

Чтобы сделать устройство, осуществляющее кодирование в соответствии с этой матрицей, нет необходимости иметь набор семи масок. Достаточно поступить следующим образом. Изготовим полоску, содержащую компонентов. Первые элементов полоски соответствуют первой строке матрицы, а последующие являются повторением начальных элементов той же строки (рис. 6.3). Закроем часть маски

Рис. 6.3

рамкой, пропускающей элементов. Достаточно сместить маску на один шаг влево, чтобы получить структуру, соответствующую второй строке матрицы. Следующий шаг даст третью строку и т. д. Устройство, снабженное маской, рамкой и системой шагового смещения маски, помещается в выходной фокальной плоскости прибора.

Сформулируем теперь требования, которые мы предъявляем к кодирующей матрице:

1. код должен обеспечивать максимальное отношение сигнал/шум при восстановлении спектра;

2. все компоненты матрицы должны быть равны 0 либо 1;

3. матрица должна быть циклической.

Если к этим требованиям добавить еще условие минимизации времени, затраченного на вычислении спектра по совокупности значений компонентов вектора , то множество возможных кодов будет сведено к кодам Адамара размером , где — целое число. Отсылая желающих ознакомиться с различными дискретными кодами более подробно, например, к книге А.А.Харкевича [6], отметим, что собственно матрица Адамара из элементов состоит не из и , а из и . Первый ряд и первый столбец таких матриц есть . Для того, чтобы получить из такой матрицы пригодную для использования в спектрометре, необходимо вычеркнуть первый столбец и первую строку, а также заменить на , а на . Перемещая строки, можно добиться ее цикличности. Матрица обратного преобразования имеет все элементы отличными от нуля и равными .