4.8. Псевдослучайные растры

До сих пор мы рассматривали растры, распределение пропускания по поверхности которых можно было задать с помощью обычных функций. Соотношение (4.4), однако, может быть удовлетворено и в том случае, когда представляет собой случайную функцию. Возьмем растр, площадка которого состоит из одинаковых не перекрывающихся элементов. Каждый из них может быть либо прозрачным, либо непрозрачным. Введем число , характеризующее вероятность того, что данный элемент пропускает свет. Растр тогда представляет собой одну из реализаций дискретного случайного процесса, принимающего значения или . Среднее число прозрачных элементов растра будет приблизительно равно:

(4.18)

Изготовим второй растр, представляющий копию первого. Если мы точно совместим их, то совпадут все отверстия, однако, стоит сдвинуть растры друг относительно друга хотя бы на ширину одного элемента, как совпадения становятся случайными. При отсутствии зависимости вероятности появления отверстия от того, был прозрачным предыдущий элемент, или нет, вероятность совпадения отверстий просто равна произведению . Среднее число совпадений будет:

(4.19)

В этом соотношении означает число шагов сдвига от положения, при котором растры совпадают, а — количество элементов растра, приходящихся на перекрывающиеся при сдвиге части.

Пусть растр представляет собой прямоугольник, состоящий из элементов по оси и — по оси , тогда

(4.20)

Учитывая, что оба растра тождественно совпадают при , получим из (4.18) — (4.20) следующую формулу для оценки среднего числа совпадающих отверстий:

(4.21)

На рис. 4.23 изображен примитивный псевдослучайный растр, состоящий из

Рис. 4.23

элементов, соответствующий . Положение отверстий было получено с помощью генератора случайных чисел, использованы пары подряд стоящих чисел, причем первое принималось за координату , а второе — . На рис. 4.24 а пунктиром показан аппаратный

А	б	в
Рис. 4.24

контур, рассчитанный по формуле (4.21), а сплошной линией — реальный для данного растра. Рис. 4.24 б показывает для сравнения аппаратный контур монохроматора со щелью шириной, равной ширине одного элемента растра, а рис. 4.24 в — контур, который имел бы монохроматор со щелью, пропускающий такой же световой поток, что растровый спектрометр. Преимущество растрового прибора очевидно. Очевидны также и недостатки — наличие значительных флюктуаций на крыльях контура.

Из теории вероятностей следует, что для уменьшения относительной величины флюктуаций необходимо увеличивать полное число элементов растра . В этом случае контур будет приближаться к теоретическому. В качестве примера на рис. 4.25 приведен

Рис. 4.25

контур псевдослучайного растра со элементами при . Пунктиром здесь также показан теоретический контур. Уменьшение величины флюктуаций заметно очень хорошо. Отметим, что спад крыльев теоретического контура для псевдослучайного растра в крыльях происходит совершенно монотонно, так что аподизация не требуется. Примечательной стороной подобного растра при малых значениях является отсутствие необходимости модуляции светового потока, как в классическом монохроматоре.

Существенным недостатком прибора с подобной формой растра является, как это следует из (4.21), медленный спад амплитуды крыльев. При исследовании сложных (сплошных) спектров произойдет резкое возрастание уровня среднего фона. Особенно большие погрешности могут возникнуть при измерении спектров поглощения. Уменьшить их влияние можно, применив простейший способ аподизации аппаратного контура, используя растр такой же конфигурации, но повернутый на 45^◦ по отношению к рассмотренному нами положению. Получаем диафрагму-ромб, как и в рассмотренных нами ранее случаях аподизации, наложенную на входную апертуру. В этом случае интенсивность излучения в крыле будет спадать обратно пропорционально квадрату величины сдвига. В самом деле, рассмотрим наложение половинок такого контура шириной при сдвиге (рис. 4.26)

Рис. 4.26

Число совпадающих отверстий в данном случае будет вновь пропорционально площади перекрытия (учтите, что на рисунке изображена только верхняя половина контура):

(4.22)

Новая форма аппаратной функции показана на рис. 4.27 а в сравнении (рис. 4.27 б) с полученной по формуле (4.21). Очевидно, что варьируя форму контура можно получить результат и более высокого качества.

а	б
Рис. 4.27

Мне известна только одна попытка реализовать спектрометр на основе псевдослучайного растра. Лабораторный образец монохроматора с применением модуляции был разработан К.И.Тарасовым и К.Н.Чиковым в ЛИТМО (ныне СПбГУ ИТМО). Входной растр представлял собой пластинку размером мм². Вся ее поверхность была разбита на 34 строки, каждая из которых состояла из 535 элементов. Вероятность того, что данный элемент прозрачен, была принята равной 1/2, таким образом, эффективная площадь растра составляла 8х16 мм². Четные строки представляли собой негативное изображение предыдущей строки (подобно рассмотренному ранее варианту для линейного растра Жирара). Распределение прозрачных участков в нечетных строках было статистически независимым как по отношению к соседним элементам, так и по отношению к другим строкам. Выходной растр получался путем фотографирования действительного изображения входного растра на выходе спектрометра при освещении линией HgI 546 нм. Модуляция светового потока осуществлялась путем периодического смещения выходного растра в направлении, перпендикулярном дисперсии прибора, на расстояние, равное ширине одной строки. В этом случае при условии точной настройки прибора на заданную длину волны изображение растра совмещается со своим негативом, и световой поток полностью перекрывается, т. е. достигается 100% глубина модуляции. Спектрометр имел дифракционную решетку 600 штр/мм и работал в области от 0,54 до 2,5 мкм (два диапазона 0,54 — 1,25 мкм и 1,09 — 2,5 мкм). Получена реальная разрешающая сила 5 10⁴ (ширина аппаратной функции 0,011 нм для =546 нм). Конструкция прибора обеспечивала постоянство разрешающей силы при сканировании спектра. По сравнению с обычным щелевым спектрометром, построенном по той же схеме, выигрыш в геометрическом факторе составил приблизительно 270 раз.