3.2.3.2. Амплитудная дифракционная решетка. Вывод формулы дифракционной решетки импульсным методом.

Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют аналогичным способом изучить формирование импульсного отклика и аппаратной функции амплитудной дифракционной решетки. В простейшем варианте, фигурирующем в большинстве учебных пособий, пропускающая решетка может быть представлена как система бесконечно длинных щелей шириной , расположенных в плоскости параллельно друг другу с пространственным периодом . Полное число таких щелей пусть будет (рис. 3.14, а).

	а
	б
	в
Рис. 3.14

Зависимость пропускания решетки от координаты в направлении x, перпендикулярном штрихам, показана на рис. 3.14, б. Введя функцию пропускания одного штриха

и используя гребенку Дирака

,

мы можем записать пропускание решетки бесконечного по х размера в виде:

(3.25)

Аналогичным образом нетрудно написать и формулу для дифракционной решетки конечной длины. Для этого достаточно умножить соотношение (3.25) на функцию- прямоугольник шириной :

(3.26)

Рассмотрим теперь падение волны на дифракционную решетку. Каждый край щели возбуждает вторичные краевые -волны, положительную в теневую относительно окна пропускания сторону и отрицательную — в освещенную. Отклик одной щели на большом расстоянии от решетки при наблюдении под малым углом к нормали в соответствии с (3.22) будет иметь вид, показанный на рис. 3.11:

,

а полный сигнал легко записать, используя (3.26) и заменив все линейные переменные на их проекции на направление распространения света:

.

(3.27)

Эта функция показана на рис. 3.14, в. Она состоит из периодической последовательности эквидистантных пар -импульсов противоположной полярности. Именно такой сигнал будет «виден» наблюдателю, находящемуся в плоскости , ортогональной направлению распространения, на большом расстоянии от решетки (или в фокальной плоскости линзы).

Для того чтобы найти реакцию дифракционной решетки на монохроматический сигнал, вычислим фурье-образ (3.27). Нормируя отклик в максимуме на единицу, имеем:

(3.28)

Рассмотрим полученное соотношение. Первый компонент формулы — это классическая для оптики функция, связанная, в данном случае, с дифракцией света на полной апертуре решетки ( — полная ширина дифракционной решетки). Поскольку обычно , угловая, или спектральная ее ширина гораздо меньше соответствующих периодов функций, стоящих в фигурных скобках.

Гребенка Дирака показывает, что имеется множество углов дифракции, в направлении которых наблюдаются максимумы излучения, отвечающих условию:

т. е. в длинах волн

В классической оптике мы называем эту совокупность максимумов множеством различных порядков дифракции.

Распределение амплитуд дифрагированного излучения по порядкам, в свою очередь, определяется модулирующей функцией, образованной при дифракции на одной щели. Учтем также, что выведенная нами форма импульсного отклика одной щели верна для малых углов дифракции, т.е. , тогда имеем:

Перейдем от частот к длинам волн:

Можно было бы вычислить квадрат модуля полученного выражения и сравнить его, допустим, с приведенным в [21, с.64], чтобы убедиться в полном совпадении результатов, однако, мы остановимся на последнем из полученных соотношений, чтобы продолжить качественный его анализ.

Положение порядков дифракции описывается функцией , которая в приближении малых углов дает совокупность эквидистантных максимумов. Распределение амплитуд этих максимумов по порядкам дифракции в пространстве описывается функцией вида и определяется пропусканием одного штриха решетки, как это показано на рис. 3.15, а. Следовательно, даже в рассмотренном нами простейшем случае «черно-белой»

	а
	б
Рис. 3.15

пропускающей решетки имеется возможность управления распределением амплитуд волн по порядкам дифракции путем изменения ширины штриха. Например, если взять , т. е. ширину прозрачной и непрозрачной части штриха одинаковой, то нули функции приходятся на четные порядки дифракции. В дифракционной картине будут наблюдаться только нечетные порядки — явление, резко уменьшающее, например, роль эффекта переложения спектров различных порядков (рис. 3.15, б).

К такому варианту структуры решетки мы еще вернемся, а пока вспомним, как была получена функция, модулирующая распределение амплитуд по порядкам. Она появилась в результате интегрирования по ширине щели однородного распределения амплитуд с весовыми множителями . Представим себе, что каждый штрих будет снабжен ахроматической призмой, ребро которой параллельно краю штриха. Считая угол при вершине А малым, а показатель преломления вещества равным n, можно показать, что роль призмы сведется к повороту оси z на угол . В результате произойдет смещение всего распределения амплитуд по порядкам дифракции при сохранении общей дифракционной структуры положения порядков. Описанный вариант весьма близок к рассмотренной выше гризме. Для отражающей решетки системе миниатюрных призм соответствует поворот плоскости отражающего штриха, в результате появляется отличие «угла блеска» решетки от угла зеркального отражения на усредненной плоской поверхности (положения «нулевого» порядка дифракции).

Вернемся к рис. 3.14, в) и обратим внимание на то, что при равной ширине прозрачной и непрозрачной части штриха импульсный отклик имеет вид, показанный на рис. 3.16 а. До сих

а	б
Рис. 3.16

пор анализ аппаратной функции мы проводили, считая, что начало отсчета времени находится в середине промежутка между положительной и отрицательной -функцией. Однако никто не мешает нам изменить положение начала координат. Достаточно сдвинуть его на 1/4 периода – и вместо синуса при вычислении фурье-преобразования мы получим косинус (рис. 3.16 б). В реальной жизни подобную операцию можно осуществить, сместив решетку параллельно самой себе в направлении, перпендикулярном штриху, на расстояние 1/2 ширины прозрачной части штриха. Фаза дифрагированной волны при этом изменится на . Величина сдвига фазы не зависит от длины волны излучения.