3.2.3. Вывод формулы дифракционной решетки импульсным методом.

3.2.3.1. Дифракция волны на двух щелях.

Поступим так же, как мы это делали раньше для монохроматической волны. Вначале рассмотрим простую «школьную» задачу, позволяющую показать эффективность импульсного подхода к решению некоторых классических проблем, в частности, проблемы взаимодействия когерентных монохроматических волн с элементарными дифракционными устройствами.

Пусть в плоскости находится поглощающий экран, в котором теперь имеется не одна, а две параллельные друг другу щели шириной , расстояние между центрами щелей равно (рис. 3.13, а). Проведем ось нормально к экрану из середины отрезка, перпендикулярного щелям, и рассмотрим отклик такой оптической системы на большом расстоянии от плоскости ( ), считая углы по отношению к оси малыми. Предполагаем, что возбужденный каждым краем щели импульс имеет форму цилиндрической -волны, меняющей знак на границе свет/тень.

а	б
Рис. 3.13

При освещении положительной плоской -волной, падающей нормально на экран, находящийся в плоскости , на очень большом расстоянии от щелей наблюдатель, находящийся на плоскости, ортогональной направлению рассеяния и способный фиксировать амплитуду волны, «увидит» вначале положительный -импульс от ближайшего к нему края. (Напомним, что рассеянная краем волна имеет знак, совпадающий со знаком исходной, при условии, что она излучается в область тени.) Затем придет импульс от следующего края, излученный этим краем в освещенную сторону, это будет отрицательный -импульс и т.д.

Обозначим расстояние от начала координат до плоскости , в которой находится наблюдатель, как (реально наблюдать рассеянный сигнал, соответствующий плоскости , можно в фокальной плоскости линзы, установленной нормально оси 0z в точке с координатой ). Время прихода первого из импульсов от плоскости до относительно момента рассеяния составляет, как видно из рис. 3.13,

Импульс от следующего края, излученный им в освещенную сторону (это будет отрицательный -импульс), придет в момент времени

Соответственно, времена прихода импульсов от второй щели будут:

положительного и
отрицательного.

Полный импульсный отклик системы двух щелей теперь можно представить в виде:

(3.24)

Образующаяся последовательность импульсов показана на (рис. 3.13 б).

Записанное в форме, аналогичной (3.24), выражение годится для комбинации любого количества щелей любой ширины, возможности его упрощения появляются уже после подстановки конкретных значений моментов времени .

Данное соотношение показывает, что отклик системы двух щелей на импульсное воздействие — процесс сугубо нестационарный. Суммирование амплитуд сигналов на плоскости не происходит, и, с этой точки зрения, интерференция -волн на ней отсутствует, в отличие от хорошо известной ситуации для монохроматической волны. При выполнении условия проходящие сквозь щели элементы падающей волны не взаимодействуют ни между собой, ни с краевыми волнами. Вместе с тем, интерференция краевых волн наблюдается, но точки их сложения не стоят на месте, а перемещаются в пространстве по мере увеличения радиуса волн. Таким образом, само по себе, в категорической форме, наше утверждение об отсутствии интерференции неполно и неточно.

Интерференция в смысле наложения и суммирования амплитуд различных компонентов рассеянных (краевых) волн имеется, но она нестационарна и во времени, и в пространстве. Тем не менее, этот результат интерференции в пространстве можно зарегистрировать, используя толстослойные фотоэмульсии, например, в фемтосекундной импульсной голографии.

Для того чтобы перейти к рассеянию монохроматической волны, найдем фурье-образ (3.24). Как показывает рис. 3.13, б), удобно перенести начало отсчета времени в середину интервала между первой и последней -функцией, учтем также, что , тогда и

.

В результате фурье-преобразования получаем:

Слагаемые в этой формуле можно комбинировать по-разному, однако, из физических соображений удобно рассмотреть пары импульсов, относящихся к каждой щели:

Перейдем к длинам волн, дополнительно умножив и разделив полученное выражение на :

.

Мы видим классическое соотношение для распределения амплитуд в дифракционной картине монохроматической волны на двух щелях. Последний множитель описывает систему эквидистантных полос разных «порядков интерференции», расстояние между которыми в угловой мере есть:

и для данной длины волны зависит только от расстояния между щелями. Это распределение по порядкам модулируется функцией, которая определяется шириной щелей (а при более глубоком анализе — и распределением пропускания внутри каждой щели). Колебания амплитуды поля интерференционной картины уменьшаются с ростом расстояния от центра, т. е. контраст ее уменьшается. Периодическое обращение в нуль функции модуляции говорит о том, что интерференционные полосы в точках ( пропадают.