3.2.1.Преобразование сигнала сложной дифракционной решеткой

Итак, пусть на рассеивающую плоскую решетку, коэффициент рассеяния которой зависит только от координаты , падает под углом плоская -волна, а рассеянную плоскую волну мы наблюдаем под углом на большом расстоянии от плоскости (Рис. 3.8). Это можно

Рис. 3.8. Рассеяние δ-волны на плоской решетке

реализовать установив линзу под соответствующим углом и наблюдая сигнал в точке ее фокуса. Длина пути от исходного положения импульса (черная жирная прямая) до нового, показанного жирным пунктиром, после рассеяния есть для луча, проходящего через начало координат, и для луча, падающего в точку (учитываем, что в данном случае ). Ориентацию падающей волны выбираем так, чтобы штрих решетки освещался однородно по всей его длине. На нашем рисунке, соответственно, проекцией такого штриха на плоскость рисунка является точка на оси . При распространении волны точка пересечения движется со скоростью . Считая процесс рассеяния безынерционным и суммируя на плоскости наблюдения амплитуды рассеянных волн по всем точкам x, которые падающая -волна последовательно пробегает на плоскости , импульсный отклик можно записать в виде:

,

где есть коэффициент рассеяния в точке с координатой .

Перенесем начало отсчета времени в точку , тогда

Величина зарегистрированной наблюдателем «скорости опроса» -волной точек рассеяния может меняться от до . Пусть Вас не удивляет появление величин скорости больше скорости света. Такие же скорости будут фигурировать и при изучении рассеяния монохроматической волны обычной дифракционной решеткой, если рассматривать этот процесс во времени и только затем вычислять фазу волны.

Нас больше всего будет интересовать случай, когда , т. е. вариант . Тогда

.

Обозначим , тогда

(3.14)

Пусть на входе действует сигнал , тогда интеграл (3.14) превращается в

Если углы падения и рассеяния волны выбраны так, что , то

(3.15)

Соотношение (3.15) показывает, что наша сложная по структуре дифракционная решетка преобразует падающую на нее волну в сигнал, пропорциональный функции взаимной корреляции двух вещественных сигналов – падающего и «записанного» на плоскости .

Если же , то

(3.16)

С точностью до знака, этот интеграл представляет собой свертку двух сигналов.

Таким образом, импульсный метод показал, что с помощью простой оптической системы можно осуществить очень важные для систем оптоинформатики операции: «вычисление» функции взаимной корреляции и свертки входного сигнала с наперед заданным образцом. Как известно, функция взаимной корреляции дает оптимальную (в статистическом смысле) оценку вероятности обнаружения известного сигнала в белом шуме.

Здесь уместно подчеркнуть, что полученный нами вывод совпадает со сделанным ранее в разделе 3.1.2, что дифракционная решетка с косинусоидильным пропусканием работает как оптимальный фильтр по отношению к монохроматической волне. В теории связи показано, что результаты применения оптимального фильтра и вычисления функции взаимной корреляции по отношению к сложному сигналу эквивалентны.

Перейдем теперь к самым простым задачам, иллюстрирующим важные особенности поля дифрагированного ультракороткого импульса.