3.1.3. Преломление монохроматической волны призмой.
Изучим теперь с тех же позиций
взаимодействие монохроматической волны
с прозрачной призмой. Будем рассматривать
призму в виде тонкого клина, изготовленного
из материала с зависящим от длины волны
фазовым показателем преломления
,
угол у вершины
считаем малым (
),
рис. 3.3. Для того чтобы привести
геометрию задачи к использованной нами
ранее, введем референтную плоскость
параллельную плоскости
|
Рис. 3.3 |
объектива камеры и входной грани нашей
призмы на расстоянии
.
В точке с координатой
клин имеет толщину приблизительно
.
Примем фазу волны на левой поверхности
клина равной нулю, тогда считая амплитуду
волны равной единице, а вещество клина
не поглощающим свет, получаем на
референтной плоскости (с точностью до
постоянного фазового множителя и
квадратично-малой поправки на расстояние
от
до входной поверхности линзы):
|
(3.13) |
Выполнив фурье-преобразование
,
найдем, что отклик прибора в выходной
фокальной плоскости описывается функцией
.
Если учесть, что
– это угол отклонения луча, имеем полное
совпадение с результатом, вытекающим
из закона преломления в приближении
малых углов. Отклонение луча происходит
в сторону расширяющейся части призмы,
угол отклонения не зависит в явном виде
от длины волны падающего излучения и
определяется зависимостью
от
.
Эта связь определяется уже особенностями
физики взаимодействия падающей волны
с веществом призмы. Достоинством
призменного прибора по сравнению с
дифракционным является единственность
угла отклика в области прозрачности
обычных веществ для видимого и УФ света.
Найдем ответ на вопрос о разрешающей
способности призмы, учитывая, что
рассматриваемые углы малы. Предел
разрешения и в данном случае будет
связан с дифракцией на границах призмы.
Вместо того чтобы воспользоваться общей
формулой для разрешающей силы любого
классического прибора, полученной нами
в разделе (2.4.2), рассмотрим детально
призму конечного размера
по оси
.
Вычислить обратное фурье-преобразование
для амплитуды удобно, умножив соотношение
(3.13) на функцию-прямоугольник
.
Имеем:
|
|
.
Фурье-образ произведения функций равен свертке фурье-образов сомножителей, следовательно
|
|
.
Вспомним, что
– угол отклонения призмой пучка света,
вышедшего из призмы, тогда с учетом
угловой дисперсии
получаем для разрешающей силы призмы:
|
|
.
Но произведение
есть размер самой широкой части нашего
клина (размер «основания» призмы
),
следовательно, мы получили хорошо
известную формулу:
|
|
.
Достоинство единственности пространственного отклика призмы, к сожалению, не может компенсировать главный ее недостаток – сильную нелинейность зависимости угловой дисперсии от длины волны и, соответственно, разрешающей способности призменных спектрометров от длины волны (или частоты) излучения. Этот одинаково верно для спектральных приборов как видимого и УФ диапазона, так и для ИК излучения. Кроме того, необходимо иметь в виду саму физику происхождения показателя преломления. Обычная («нормальная») дисперсия показателя преломления наблюдается только при взаимодействии монохроматической волны с прозрачным веществом, когда частота падающего излучения далеко отстоит от резонансных частот осцилляторов, составляющих вещество
Приведенные материалы о работе призмы и сделанный мною акцент на непостоянстве величины дисперсии совершенно не говорят о сколько-нибудь отрицательном личном мнении автора о них. Его симпатией, например, давно является спектроскоп с призмой прямого зрения (Амичи), рис. 3.4. Это – простая и надежная система, которая не претендует на решение
|
Рис. 3.4 |
утонченных спектроскопических задач, но способна и начинающему, и опытному наблюдателю многое рассказать об источнике света. Что же касается усовершенствования таких спектроскопов и снабжения их различными дополнительными «навесными орудиями», то ничего, кроме сожаления, у автора они не вызывают – каждому прибору отведен свой круг объектов и задач. Более того, призмы помогают преодолеть некоторые проблемы дифракционных решеток при использовании схем со скрещенной дисперсией.
Сегодня создатели спектральных систем исходят из того, что приборы должны по своим основным параметрам – дисперсии и пропусканию согласовываться с ожидаемым спектром падающего на прибор излучения, со свойствами фотоприемника и источника света (условий возбуждения спектра). В заключительном разделе книги я приведу один из удачных (с точки зрения автора) примеров такого комплексного подхода к созданию прибора. Тем не менее, поиски гибких конструкций, адаптированных к решению различных практических задач, продолжаются. Одна из таких возможностей кратко описана ниже.