3.1.2. Дифракционная решетка как согласованный фильтр.

Мы уже упомянули, что в нашей схеме (рис. 3.1) дифракционная решетка по отношению к монохроматической волне выступает как фильтр пространственных частот. Интересно взглянуть на этот же вопрос с точки зрения теории оптимального приема сигналов. Для того чтобы уточнить, какую операцию над входным сигналом осуществляет спектрометр с дифракционной решеткой, рассмотрим последовательно три более простые задачи. Начнем с самой элементарной, где результат можно предсказать заранее. Пусть вновь входная и выходная щель – бесконечно узкие. Коллиматор создал в плоскости спектр входной щели, пусть ее координата была , тогда

Квадрат модуля этого амплитудного спектра равен единице, т. е. пространство коллиматора освещено равномерно, а фаза меняется линейно по , причем скорость этого изменения определяется координатой входной щели , отсчитанной от главной оптической оси прибора.

Следующий этап – фильтрация. Вначале сделаем мысленно такой опыт: поместим в плоскости диспергирующего элемента прибора бесконечно узкую щель параллельную штрихам решетки. Ее пропускание описывается функцией . Эта щель из пространственного спектра поля монохроматического колебания с длиной волны , вырезает только одну монохроматическую компоненту (монохроматическую опять-таки в смысле пространственных частот).

Выходной объектив камеры осуществляет обратное преобразование Фурье выделенной нашей щелью компоненты поля. Соответствующее преобразование, дающее амплитуду в фокальной плоскости выходного объектива имеет вид:

(3.7)

Вновь мы имеем на выходе равномерно освещенное поле фокальной плоскости с линейно изменяющейся по фазой, но теперь скорость изменения фазы определяется уже положением щели-фильтра в плоскости диспергирующего элемента , а начальная фаза – взаимным положением входной щели и щели-фильтра (слагаемое ).

Упростим полученное соотношение, поместив входную щель непосредственно на оптической оси прибора, что соответствует обычной ее установке. Тогда и (3.7) превращается в

(3.8)

Этот тривиальный результат позволяет нам перейти к следующему этапу. Сохранив координату входной щели нулевой, рассмотрим, что произойдет, если в плоскости установить две параллельные друг другу тонкие щели симметрично относительно оптической оси выходного объектива. Пусть расстояние между щелями равно 2ξ₀. Теперь пропускание нашего пространственного фильтра описывается суммой

(3.9)

После подстановки (3.8) и (3.9) в (3.5) и вычисления преобразования Фурье получаем:

,

и для распределения освещенности имеем:

.

(3.10)

Мы получили результат, хорошо известный для поля интерференции когерентно освещенных двух одинаковых тонких щелей. (Опыт, приобретенный при изучении предыдущей главы, подскажет Вам, как можно учесть конечную ширину щелей, как учесть смещение от оси входной щели и т. п.). Однако, обратим внимание на сам результат взаимодействия полей с разной пространственной частотой (но монохроматических!): сложение таких полей приводит к изменению пространственной структуры поля в выходной фокальной плоскости объектива, осуществляющего обратное преобразование Фурье. Аналогичным образом можно рассмотреть фильтрацию пространственных частот поля, созданного монохроматической волной тремя, четырьмя и большим числом дискретно расположенных щелей.

При решении задачи оптимизации обнаружения и анализа входного сигнала координаты щелей должны строго соответствовать положению пространственных частот этого сигнала. Такой фильтр в теории связи называется согласованным. Как известно в теории оптимального приема, назначение такого фильтра заключается не в точном «выделении» сигнала из белого шума, а в измерении его амплитуды с минимальной ошибкой. Форма сигнала при фильтрации претерпевает сильные изменения.

Спектр периодически повторяющегося сигнала (допустим волны не синусоидальной, а имеющей более сложную зависимость амплитуды от времени) состоит из дискретных равноотстоящих в пространстве частот компонентов. Во всех приведенных выше соотношениях мы тогда должны рассматривать не только основную частоту , но и ее гармоники , суммируя поля этих компонентов по и учитывая различие амплитуд гармоник.

Мы рассмотрим более простую задачу: будем предполагать, что спектр зависящего от времени исследуемого процесса описывается бесконечным набором одинаковых по амплитуде равноотстоящих гармоник. Тогда и пространственный спектр поля в области диспергирующего элемента будет состоять из суперпозиции пространственных спектров с кратными частотами. Такие спектры удобно описывать с помощью оператора, который называется «гребенка Дирака» (Dirac comb). По определению,

.

Преобразование Фурье гребенки Дирака есть также гребенка Дирака в пространстве :

.

Поскольку в большинстве случаев для целей этой книги, как уже говорилось, вопросы истинного значения амплитуд особого значения не имеют и все результаты вычислений нормируются на максимальное, множитель перед суммой я буду опускать.

Вернемся к схеме спектрометра. В плоскости диспергирующего элемента мы установим бесконечную последовательность тонких параллельных друг другу щелей, находящихся на одинаковых расстояниях друг от друга. Задача, таким образом, становится задачей о работе дифракционной решетки с одинаковыми бесконечно узкими штрихами. С нашей точки зрения, она представляет собой пространственный фильтр для равноотстоящих компонентов пространственного спектра входного сигнала. Такой фильтр в радиотехнике называют «гребенчатый». Обращаю внимание читателя, что в данном случае мы не используем информацию о монохроматичности входного колебания, а предполагаем, что оно может быть гораздо более сложным по зависимости амплитуды от времени, но периодическим. На самом же деле волна, рассмотренная в самом начале, была монохроматической!

Итак, объектив коллиматора сформировал в плоскости пространственный спектр, и мы из него вырезаем совокупность равноотстоящих пространственных частот. Если входная щель находится на оптической оси, для бесконечной по размерам дифракционной решетки эту операцию можно описать так:

Выполнив теперь обратное преобразование Фурье с помощью выходного объектива, получаем:

Вспомним, что , следовательно, в выходной фокальной плоскости мы получили набор бесконечно узких спектральных линий, отвечающих равенству

или

.

(3.11)

Напоминаю, что в книге мы имеем дело с параксиальным приближением, следовательно, (3.11) есть хорошо узнаваемая формула дифракционной решетки:

(3.12)

В чем состоит качественное отличие полученного для гребенчатого фильтра результата от рассмотренного раньше случая решетки с косинусоидальным пропусканием? Именно в том, что в предыдущем случае был сформирован оптимальный фильтр, почти полностью использовавший априорную информацию о монохроматичности входного сигнала. Если бы мы имели возможность еще устранить постоянное пропускание, на фоне которого находились гармонические колебания амплитудного пропускания, «нулевой» порядок дифракции пропал бы, и вся энергия была направлена в два дельтаобразных максимума. Очень проблематичное (хотя и осуществимое) создание плоской пропускающей решетки, обладающей такими свойствами, относительно просто реализуется в отражательной дифракционной решетке.