2.4.2. Предельная разрешающая сила классического спектрометра.

Вернемся теперь к обобщенной схеме классического спектрального прибора и найдем, от каких основных его параметров зависит предельная разрешающая сила, определив ее как отношение длины волны исследуемой линии к минимальному разрешаемому интервалу по Рэлею. Вновь полагаем качество оптики прибора идеальным, тогда единственным физическим фактором, ограничивающим разрешающую способность является дифракция на диспергирующем элементе прибора, а две спектральные линии одинаковой яркости считаются разрешенными, если максимум дифракционного распределения одной совпадает с первым нулем другой.

Будем рассматривать случай некогерентного освещения входной апертуры – щели. Как мы только что видели, чтобы форма аппаратного контура спектрометра совпадала с дифракционным контуром, необходимо, чтобы ширина входной щели прибора стремилась к нулю. То же требование должно быть выполнено и по отношению к выходной щели монохроматора (или ширине пиксела CCD приемника, или разрешающей способности фотоэмульсии). Для нас, формально, это требование можно записать так:

Тогда

(2.23)

Форма аппаратного контура при прямоугольной форме отверстия диспергирующего элемента описывается функцией , и расстояние от центрального максимума до первого нуля стоящей в квадратных скобках функции определяем из условия:

Следовательно, теоретическая разрешающая способность классического спектрометра есть

.

(2.24)

Мы видим, что предельная пространственная разрешающая способность определяется только внешними параметрами диспергирующего элемента спектрометра. Заметим, что величина – это угловая ширина основного «лепестка» дифракционной картины, возникающей при рассеянии света на апертуре диспергирующего устройства. Угловое расстояние от ее центра до первого нуля, как известно:

(2.25)

Полученное соотношение для теоретически предельной разрешающей способности классического спектрометра удобно переписать в форме безразмерной предельной «разрешающей силы» :

,

(2.26)

где - угловая дисперсия диспергирующего элемента прибора.

Итак, предельная разрешающая способность (определенная по Рэлею) любого спектрального прибора, основанного на классической схеме, определяется только угловой дисперсией диспергирующего элемента и шириной (в направлении развертки спектра) выходящего из него светового пучка.

2.4.2.1. Способы аподизации аппаратного контура спектрометра

Появление дополнительных максимумов при формировании аппаратной функции столь затрудняющих, как мы видели ранее, обнаружение и измерение величины слабых объектов на фоне сильных, является общим свойством всех реальных оптических систем, как предназначенных для формирования изображений, так и спектральных. Даже в том случае, когда полностью устранены аберрации, блики, возникающие при паразитных отражениях, и другие, принципиально устранимые причины появления таких максимумов, остаются эффекты, связанные с дифракцией на отверстии. Количество энергии излучения, приходящейся на крылья аппаратного контура, отнюдь не мало. Так, например, в дифракционной картине, образованной круглым зрачком, максимальная освещенность первого кольца составляет 1,75% от центрального пятна. Однако площадь этого кольца значительно больше, чем площадь центрального максимума, и полное количество энергии, приходящейся на него, составляет 9%. Если по каким-либо причинам центр зрачка перекрыт, как, например, в фото-объективе Максутова, в объективах отражательных микроскопов, или телескопов-рефлекторов, построенных по схеме типа схемы Кассегрена, то соотношение между амплитудами центра дифракционной картины и ее периферией дополнительно ухудшается. Величину побочных максимумов необходимо уменьшить при решении многих задач, нужно добиться аподизации аппаратного контура.

2.4.2.1.1. Аподизация неоднородно поглощающим фильтром. Для того чтобы понять, каким способом можно осуществить аподизацию, вернемся к формуле (2.14), показывающей, что вблизи фокальной точки распределение амплитуд поля волны вдоль направления дисперсии является фурье-образом распределения амплитуд на поверхности объектива. Из асимптотических свойств преобразования Фурье известно, что если функция отлична от нуля только на конечном интервале, то характер спада целиком определяется тем, как ведет себя в крайних точках этого интервала. В частности, если и первые ее производные обращаются на границах области в нуль, то при больших асимптотически .

В качестве примера рассмотрим фурье-образы нескольких функций, наиболее часто встречающихся в оптике при решении задач аподизации. С этой целью перепишем, с оговоренным ранее обобщением, выражение (2.14) в традиционной форме, введя (величина имеет размерность и называется пространственной частотой):

(2.27)

Постоянный множитель, возникающий при изменении системы координат, мы опустили, так как для целей качественного анализа он не имеет существенного значения (дополнительным оправданием может служить уже упомянутая практика нормировки аппаратного контура на единицу в максимуме). Обратное преобразование

(2.28)

позволяет вычислить распределение амплитуд поля световой волны за объективом, если определено его распределение в фокальной плоскости.

Рассматривая аппаратный контур классического монохроматора, мы вычислили распределение амплитуд в фокусе однородно освещенной линзы, ограниченной действующей диафрагмой шириной , соответствующее распределение было обозначено . Напомним полученное соотношение для фокальной плоскости, введя пространственную частоту:

.

Вторая функция, которая понадобится нам, это равнобедренный треугольник с шириной основания L и значением в вершине, равным 1.

(2.29)

Такая функция иногда обозначается как , либо . Найти ее спектр можно прямым интегрированием, однако, применим иной прием. Объем вычислений можно резко сократить, если воспользоваться тем обстоятельством, что функция представима в виде свертки

В самом деле, будем смещать два прямоугольника единичной амплитуды и шириной друг относительно друга, как это показано на рис. 2.20. Величина интеграла свертки в данном случае определяется площадью перекрытия прямоугольников. Если смещение между прямоугольниками превосходит (Рис. 2.20, 1), то площадь их перекрытия равна нулю.

Рис. 2.20

Затем она нарастает по линейному закону (2) вплоть до полного совпадения двух прямоугольников при смещении равном нулю (3). В этом случае площадь равна . После этой точки происходит линейный спад (4) вплоть до нуля. График свертки приведен в нижней части рис. 2.20.

Воспользуемся теоремой о спектре свертки, тогда

(2.30)

Сопоставляя функции и , можно сделать главный вывод: изменяя распределение амплитуд поля волны на поверхности объектива, мы можем существенно изменить скорость убывания величины побочных максимумов, т. е. осуществить аподизацию аппаратного контура. В рассмотренном случае устранение разрыва первого рода функции на границе зрачка (переход от прямоугольного к треугольному распределению) привело к тому, что амплитуда (не освещенность, а амплитуда!) максимумов стала уменьшаться не как для , а пропорционально . Аппаратный контур теперь описывается функцией , а освещенность первого побочного максимума составляет всего 0,0023 от центрального.

Каким образом можно технически осуществить уменьшение пропускания зрачка от центра к краям? Наиболее естественное решение — поместить вблизи объектива неоднородно поглощающий фильтр. При этом уменьшается величина побочных максимумов не только вдоль оси дисперсии , но и во всех других направлениях от центра дифракционной картины.

Иной, более простой технически способ, рассмотрен в работе [17]. Вспомним, что в классическом спектрометре для нас не имеет значения (по крайне мере в некоторых пределах) размер изображения точки входной апертуры в направлении, перпендикулярном направлению дисперсии. Он никак не сказывается на ширине аппаратной функции, и опытные конструкторы спектрального оборудования используют это обстоятельство. Следовательно, имеет смысл задача об аподизации контура в направлении только одной из координат – в направлении дисперсии. Эта задача может быть решена гораздо проще, достаточно изменить внешнюю форму выходного зрачка спектрометра.