2.4.13. Аппаратный контур классического монохроматора. Частные случаи

Разберем теперь несколько частных случаев формирования аппаратного контура монохроматора. Чаще всего в практике спектрального анализа встречается вариант некогерентного освещения входной щели. Как следует из формул (2.11) и (2.18), аппаратный контур определяется при этом соотношением

.

(2.19)

Здесь вновь — распределение освещенности в изображении входной щели, рассчитанное в приближении геометрической оптики. При однородном освещении входной щели освещенность постоянна в пределах изображения щели и обращается в нуль за ее границами. Функция для монохроматора описывает пропускание выходной щели и качественно имеет такой же вид, как ⁷. Остается , описывающее распределение освещенности картины, образующейся в выходной фокальной плоскости при дифракции плоской волны на отверстии призмы или решетки. Эта функция имеет форму, существенно зависящую от распределения амплитуд непосредственно в плоскости выходного объектива, она может меняться экспериментатором.

С нее мы и начнем. Вычислим распределение амплитуд в дифракционной картине. Предположим, что от диспергирующего элемента на выходной объектив падает однородная по амплитуде плоская монохроматическая волна. Пусть ширина выходного зрачка (а следовательно, и ширина выходящего светового пучка) в направлении есть . Совместим начало координат с центром зрачка, тогда в соответствии с (2.13)

(2.20)

Эта функция часто используется в теории оптических систем, и для нее употребляются обозначения: .

Воспользовавшись соотношением (2.14), имеем:

.

(2.21)

Опуская не имеющий для данного анализа множитель , получаем следующую формулу, описывающую распределение освещенности в дифракционной картине:

.

(2.22)

Вид функции приведен на рис. 2.16.

Рис. 2.16

Она тоже часто встречается при изучении оптических систем, и ей присвоены специальные обозначения:

.

Наиболее распространенным является первое и значительно реже употребляются второе и третье.

Функция играет важную роль не только в оптике, но также в теории связи и информации, поэтому имеет смысл поговорить о ее свойствах. Во-первых, она четна, т. е. , так как нечетны и числитель, и знаменатель. Во вторых, при функция имеет абсолютный максимум, равный единице (в этом легко убедиться самостоятельно). В третьих, она имеет бесконечное множество равноотстоящих нулей при Наконец, она имеет бесконечное число знакопеременных экстремумов, амплитуда которых убывает приближенно как , они находятся вблизи (не точно!) точек , и положение их стремится к середине между двумя нулями при больших . Значения функции в точках первых экстремумов равны приближенно -0,22, +0,13, -0,09 соответственно для первого, второго и третьего.

Следуя [17], обозначим теперь через расстояние от центра до первого нуля функции (ширина дифракционного контура, как мы определили ее раньше), — ширину функции (ширина изображения входной щели в приближении геометрической оптики) и — контура (ширина выходной щели, или пространственная разрешающая способность фотоприемника). Очевидно, что . Примем значение за единицу измерения координаты и рассмотрим некоторые из возможных вариантов соотношения между величинами , и . Ширины входной и выходной щели монохроматора обычно (но не всегда) имеют близкую величину, во всяком случае – одного порядка. Уменьшение одной из них при фиксированной второй приводит к большим потерям величины проходящего через прибор светового потока, а разрешающая способность спектрометра остается практически неизменной, поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что .

Первый случай. Очень узкие (бесконечно узкие) входная и выходная щели. ( ).

В отсутствие аберраций этот случай соответствует предельно возможному разрешению классического спектрометра. Аппаратный контур получается в результат двух последовательных сверток функции с очень узкими прямоугольниками, которые приближенно мы можем считать -функциями. Значение интеграла свертки пропорционально площади перекрытия двух контуров. Результат достаточно очевиден (рис. 2.17): в итоге получится кривая, очень близкая к , отличие от нее будет заметно лишь вблизи нулей этой функции. Аппаратный контур имеет хорошо выраженные побочные максимумы. Величина их спадает с увеличением как , амплитуда первого составляет около 5% от основного.

Рис. 2.17

Второй случай. Ширина и выходной щели одинакова, и равна «нормальной» входной щели ( ). Формирование аппаратного контура происходит в два этапа. Во-первых, в выходной фокальной плоскости создается действительное изображение входной щели искаженное дифракцией. Затем распределение освещенности в этом изображении анализируется с помощью выходной щели. Изучим оба этапа формирования полного аппаратного контура. Для того чтобы найти характер распределения освещенности в изображении входной щели, рассмотрим два положения прямоугольника, описывающего пропускание входной щели, относительно дифракционной картины (рис. 2.18). Вычисление интеграла свертки сводится к определению среднего значения освещенности на интервале, вырезанном «окном», ширина которого равна ширине изображения щели (напомню: в приближении геометрической оптики).

Рис. 2.18

При больших амплитуды соседних максимумов отличаются друг от друга незначительно, следовательно, распределение освещенности близко к синусоидальному. Ширина входной щели точно совпадает с периодом этой синусоиды, следовательно, среднее по периоду значение функции (положение 1) будет примерно равно половине высоты максимума. При смещении от одного максимума к другому среднее значение, в первом приближении, меняться не будет. Более аккуратный расчет показывает, что на самом деле незначительные колебания в этой области имеются. По мере приближения к центральному максимуму дифракционной картины максимумы увеличиваются, поэтому и среднее значение функции возрастает.

Предположим теперь, что «окно» установлено так, что центр его имеет координату, совпадающую с центром дифракционной картины (положение 2), Центральный пик дифракционного распределения освещенности вдвое превосходит по ширине все остальные, поэтому в результате усреднения получится значение лишь немного ниже исходного максимума.

Таким образом, распределение освещенности в изображении входной щели на выходе спектрометра будет несколько шире, чем дифракционное пятно. Крылья контура приподнимутся, но вторичные максимумы почти полностью пропадут. Сканирование полученного изображения выходной щелью приводит к дальнейшему расширению (правда, незначительному) центрального максимума и некоторому, незначительному, увеличению колебаний контура на крыльях.

Третий случай. Широкие щели. ( ). Далеко на крыльях ( , положение 1 на рис. 2.19 а) ситуация вполне аналогична рассмотренной для . Среднее по широкому прямоугольнику значение мало меняется при смещении «окна» вправо, или влево, колебания интенсивности совсем незначительны. Однако, как только в область «окна» попадает центральный максимум, значение интеграла свертки резко возрастает и остается практически постоянным при дальнейшем смещении окна к центру. Из рис. 2.19, а видно, что положение вблизи чрезвычайно невыгодно для усреднения. Заштрихованная на рисунке область дифракционной кривой намного меньше, чем площадь самого окна. Результатом этого является уменьшение максимума по отношению к крыльям контура. Распределение освещенности в выходной фокальной плоскости будет близко к прямоугольному шириной близкой к . Считывание этого распределения выходной щелью монохроматора, также имеющей прямоугольную форму пропускания, приводит к тому, что расширяющаяся центральная часть и поднимающиеся крылья формируют в конце концов характерный для такого случая треугольный аппаратный контур (рис. 2.19, б).

А	б
Рис. 2.19