2.4.1.2. Распределение освещенности в изображении щели при когерентном и некогерентном освещении

Найдя распределение амплитуд поля световой волны от точечного источника, мы сделали лишь первый шаг. Для того чтобы найти функцию , необходимо перейти к распределению освещенностей. Эта процедура существенно зависит от свойств пространственной когерентности падающего на прибор излучения. Разобьем входное отверстие 1 (Рис. 2.14) на элементарно малые точечные участки. Начнем с того, что рассчитаем распределение амплитуд световой волны в изображении, пользуясь соотношениями геометрической оптики, обозначим результат . Вместе с тем мы знаем, что каждая точка дает нам в плоскости 5 (Рис. 2.14) вследствие дифракции некоторое пятнышко конечного размера с распределением амплитуд . Вновь воспользовавшись линейностью системы, найдем распределение амплитуд в изображении входного отверстия

.

В большинстве случаев, встречающихся в обычной практике спектроскописта, амплитуда световой волны случайным образом зависит от времени, причем характерное время флюктуаций значительно меньше характерного времени инерционности регистрирующей системы⁵. Следовательно, при вычислении освещенности мы должны произвести усреднение по времени. Таким образом, распределение освещенности в изображении входного отверстия будет пропорционально величине

.

(Здесь звездочка означает комплексное сопряжение, а угловые скобки — усреднение по времени.)

Учитывая, что от времени не зависит, получаем из двух последних формул:

.

(2.15)

(Поскольку традиционно в оптике используется нормировка аппаратной функции на единицу в максимуме, я здесь и далее часто буду вместо знака пропорциональности ставить знак равенства.)

Результат вычисления этого интеграла определяется характером статистической связи между величинами и , т. е. между амплитудами световой волны в различных точках изображения.

Когерентное освещение. Предположим, что на вход спектрометра падает такое излучение, фазы которого меняются во времени одинаковым образом для всех точек (при этом взятая в какой-то конкретный момент времени фаза световой волны может меняться случайным образом от точки к точке). В этом случае можно выделить фазовый множитель , одинаковый для всех точек входного отверстия. Такое освещение называется пространственно-когерентным⁶. Выберем это множитель таким способом, чтобы модуль его был равен единице, тогда , и

.

Как нетрудно видеть, выражение (2.15) распадается при этом на два независимых интеграла, подынтегральные функции которых являются комплексно-сопряженными, следовательно:

,

(2.16)

Некогерентное освещение. Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда амплитуды световой волны в соседних точках изображения статистически независимы. (В действительности когерентность сохраняется в окрестности размером порядка длины волны вблизи данной точки.) В этой ситуации приближенно

,

где — просто распределение освещенности в изображении, вычисленное в приближении геометрической оптики. Для функции тогда находим:

.

(2.17)

Подытожим.

Соотношения (2.16) и (2.17) показывают для двух крайних случаев, как можно найти распределение освещенности в изображении входного отверстия, которое создает идеализированный спектральный прибор, когда на его вход падает квазимонохроматическое излучение. Если излучение было пространственно-когерентным, то по известному распределению амплитуд поля световой волны в изображении точки прежде всего определяется распределение амплитуд в изображении входной апертуры. Для этого необходимо произвести свертку распределения амплитуд, рассчитанного в приближении геометрической оптики с распределением амплитуд в изображении точки. Затем вычисляется квадрат модуля результата.

Если же излучение некогерентно, то сначала находим распределение освещенности в изображении точки, а затем вычисляем его свертку с распределением освещенности в изображении, формируемом идеальной системой (т. е. в приближении геометрической оптики). Пользуясь обозначением операции свертки, введенным ранее, соотношения (2.16) и (2.17) запишем в виде:

.

(2.18)

В случаях частично-когерентного освещения выражения для расчета существенно усложняются и почти никогда не применяются.

На практике абсолютные величины освещенности не вычисляются, производится нормировка полученной функции на максимальное значение. Имея это в виду, в дальнейшем вместо значка пропорциональности будем просто ставить знак равенства.

Какой из полученных формул надо пользоваться при реальных расчетах? Если анализируется излучение источника, имеющего значительные угловые размеры (типа газоразрядных трубок или больших термических источников), то освещение с хорошей степенью точности можно считать некогерентным (исключение, конечно, представляют лазеры, пространственная когерентность пучка излучения которых велика даже при больших поперечных размерах). Если же исследуемый монохроматический объект имеет малые размеры и значительно удален от спектрального прибора, то его излучение приближенно когерентно. (Более подробно условие «малости» объекта изложено в книге Франсона и Сланского [16]).