2.4.1.1. Распределение амплитуд в изображении точки в выходной фокальной плоскости классического спектрометра

Найдем вид функции . С этой целью вычислим вначале распределение амплитуды поля в окрестности фокуса выходного объектива для точечного объекта, находящегося в плоскости входной апертуры.⁴

Предположим, что от диспергирующего элемента на объектив камеры падает плоская монохроматическая волна. На расстоянии от объектива находится его задняя фокальная плоскость. Пользуясь приближением геометрической оптики, в точке мы должны были бы получить -образное распределение освещенности. На самом деле вследствие дифракции и аберраций оптической системы образующийся фронт волны не плоский, и поле световой волны остается конечным в некоторой малой окрестности фокальной точки. Для простоты мы будем рассматривать только так называемые дифракционно-ограниченные оптические системы, т. е. считать, что влиянием аберраций можно пренебречь по сравнению с дифракционными эффектами.

Рис. 2.15

Введем координату в плоскости объектива параллельную координате в задней фокальной плоскости. За начало координат примем точку пересечения оптической оси прибора для излучения частоты с соответствующей плоскостью. Величину зрачка системы в направлении координаты примем равной .

Рассмотрим точку . Разность хода между ней и любой из точек фронта плоской волны, падающей на объектив вдоль оптической оси, постоянна (лишь благодаря этому свойству плоская волна фокусируется в ). Амплитуду поля световой волны в рассматриваемой точке можно найти, сложив амплитуды световой волны на поверхности :

(2.12)

Используя функцию

,

(2.13)

мы можем перейти в (2.12) к бесконечным пределам интегрирования.

Рассмотрим теперь некоторую точку в плоскости , не совпадающую с и находящуюся от нее на расстоянии много меньшем . В пространстве вблизи плоскости можно построить поверхность, разность хода между любой из точек которой и будет постоянна. Как известно, для идеальной оптической системы в параксиальном приближении такой поверхностью является плоскость, расположенная под углом к оптической оси. Иначе говоря, плоская волна, падающая под углом на объектив, сфокусируется в точке . Амплитуду поля в , аналогично предыдущему, найдем как сумму амплитуд на поверхности волнового фронта.

Поскольку мы предположили, что угол мал, можно считать, что модуль амплитуды световой волны на рассматриваемой плоскости будет совпадать с , но из-за наклона между рассматриваемым фронтом и плоскостью имеется некоторая разность хода . Учитывая это, представим в форме:

.

Из рис. 12 нетрудно видеть, что , тогда

.

(2.14)

Соотношение (2.14), включает в себя как частный случай и (2.12). Вместо функции под знаком интеграла могла стоять любая другая ограниченная функция, описывающая пропускание зрачка оптической системы, следовательно, полученное соотношение показывает, что распределение амплитуд поля световой волны в выходной фокальной плоскости прибора является фурье-образом распределения амплитуд в плоскости выходного объектива. Для того чтобы это было совершенно очевидно, в качестве единицы измерения надо взять длину волны излучения , а измерять в единицах , тогда

.

Очевидно, что в силу линейности системы будет верно и обратное утверждение: распределение амплитуд в плоскости выходного зрачка является фурье-образом распределения амплитуд в выходной фокальной плоскости прибора.