Натуральное число как результат измерения величин

Натуральные числа используются не только для пересчета элементов конечных множеств, но и для измерения величин: длин отрезков, масс тел, площадей фигур, стоимости товара и др., то есть для сравнения их с некоторой единицей (см, кг и т.д.) и выражения результата сравнения числом.

Если величину, которую измеряют, можно разделить на несколько частей, «равных» единице величины, то результат измерения выражается натуральным числом.

Уточним представления о натуральном числе как результате измерения величин. Все понятия рассмотрим на примере измерения длины отрезка.

Говорят, что отрезок а состоит из отрезков а₁, а₂, а₃, …, а_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя могут иметь общие концы. В этом случае считается также, что отрезок а разбит на отрезки а₁, а₂, а₃, …, а_n, или отрезок а является суммой отрезков а₁, а₂, а₃, …, а_n, и пишут а = а₁ + а₂ + а₃ + … + а_n.

Н апример, рассмотрим отрезок а, который разбит на отрезки а₁, а₂, а₃.

Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е и назовем его единицей длины или единичным отрезком.

Если отрезок а состоит из n отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число n называют мерой или значением длины отрезка а при единице длины е.

В данном случае используются следующие обозначения: n = m_е (а) или а = nе. Очевидно, что при выбранной единице длины е для отрезка а число n будет единственным.

Например, мерой отрезка а, изображенного на рисунке, при единице длины е является число 5: m_е (а) = 5. В данном случае можно сказать, что число 5 является значением длины отрезка а при единице длины е, и записать: а = 5е.

е а

Итак, натуральное число как мера отрезка а показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а.

Аналогично понятие натурального числа можно ввести в связи с измерением других величин (масс или объемов тел, площадей фигур и др.), и в любом случае натуральное число как мера величины будет показывать, сколько раз единица измерения содержится в измеряемом объекте.

Однако надо иметь в виду, что число как мера величины меняется в зависимости от выбора единицы измерения, даже если сам измеряемый объект остается неизменным.

Например, возьмем отрезок х и измерим его меркой е₁, а затем меркой е₂.

х е₁ е₂

При измерении данного отрезка меркой е₁ получим, что мера отрезка х равна 6. Если измерить этот же отрезок х меркой е₂, то мера отрезка будет равна 2.

В этом состоит относительность натурального числа как результата измерения величины.

Натуральное число, получаемое при измерении, можно рассматривать и как порядковое, и как количественное. Однако по своей сути оно выступает в новом качестве. Записи 7 конфет и 7 см не тождественны: 7 конфет можно представить как 7 квадратов (прямоугольников, кругов), а для 7 см такое изображение неприемлемо, 7 см можно изобразить в виде отрезка соответствующей длины.

Сравнение натуральных чисел как мер длин отрезков связано со сравнением самих отрезков. Пусть натуральное число n есть мера отрезка а при единице длины е, а натуральное число m – мера отрезка в при той же единице длины е. Если отрезки а и в равны, то будут равны и соответствующие им числа n и m. Справедливо и обратное утверждение. Пользуясь этими рассуждениями, сформулируем следующий вывод: при выбранной единице измерения натуральные числа равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие им отрезки.

Если отрезок а короче (меньше) отрезка в, то и мера отрезка а меньше меры отрезка в, то есть n < m. Справедливо и обратное утверждение. На основе этих рассуждений, сделаем следующий вывод: при выбранной единице измерения одно число тогда и только тогда меньше другого, когда ему соответствует меньший отрезок.

Данная взаимосвязь между отрезками и численными значениями их длин позволяет сравнение длин отрезков свести к сравнению их соответствующих численных значений и наоборот.

Например, 7 см > 4 см, так как 7 > 4.

Действия над натуральными числами

как мерами длин отрезка

Выясним, какой смысл приобретают арифметические действия над натуральными числами, если эти числа получены в результате измерения длин отрезков.

1. Сложение. Пусть отрезок z состоит из отрезков х и у и z = се, х = ае, у = ве, где с, а и в – натуральные числа. Это значит, что отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у состоит из в отрезков, равных е. Следовательно, весь отрезок z состоит из а + в отрезков, равных е, то есть m_е (z) = с = а +в = m_е (х) + m_е (у).

Таким образом, суммой натуральных чисел а и в называется натуральное число а +в, являющееся мерой длины отрезка z, состоящего из отрезков х и у, мерами длин которых являются числа а и в.

2 . Вычитание. Пусть теперь отрезок х состоит из отрезков у и z, и пусть, как и выше, х = ае, у = ве, z = се. Покажем это на рисунке.

Тогда отрезок z называют разностью отрезков х и у и обозначают z = х – у. В данном случае мера отрезка z равна разности мер отрезков х и у, то есть с = m_е (z) = m_е (х) - m_е (у) = а – в.

Таким образом, разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число а - в, равное мере длины отрезка z, являющегося разностью отрезков х и у, мерами длин которых являются числа а и в.

Заметим, что такой подход к сложению и вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.

В процессе обучения математике дети встречаются с задачами, в которых рассматриваются различные величины и действия над ними. Определение смысла сложения и вычитания натуральных чисел, являющихся значениями величин, позволяет обосновывать выбор действия при решении таких задач.

Например, рассмотрим задачу: «В саду собрали 2 кг малины и 3 кг клубники. Сколько килограммов ягод собрали в саду?». Данная задача решается действием сложения.

Изобразим массу собранной малины в виде отрезка а, а массу собранной клубники в виде отрезка в. Тогда массу собранных ягод можно изобразить при помощи отрезка АС, состоящего из отрезка АВ, равного а, и отрезка ВС, равного в.

а в е е = 1 кг А В С

Так как численное значение длины отрезка АС равно сумме численных значений длин отрезков АВ и ВС, то массу собранных ягод нужно находить действием сложения: 2 + 3 = 5 (кг).

3. Умножение. Пусть m_е (х) = а, то есть отрезок х состоит из а отрезков, равных е. Отрезок е, в свою очередь, состоит из в отрезков, равных е₁, то есть m_е1 (е) = в. Тогда мера длины отрезка х при единице длины е₁ выражается числом а · в.

х е₁ е

На самом деле, чтобы найти меру отрезка х при единице длины е₁, достаточно найти число, показывающее сколько раз е₁ укладывается в отрезке х.

И скомое число будет равно в + в + в +…+ в = в · а = а · в. Значит, m_е1 (х) = а · в.

Таким образом, умножение натуральных чисел как мер длин отрезков выражает переход к новой (более мелкой) единице длины.

Пусть а = m_е (х) и в = m_е1 (е). Тогда произведением натуральных чисел а и в называется натуральное число а ∙ в, равное мере длины отрезка х при новой (более мелкой) единице длины е₁.

В процессе обучения математике детям встречаются задачи с величинами, в которых рассматривается действие умножения. Определение смысла умножения натуральных чисел, являющихся значениями величин, позволяет обосновывать выбор действия при решении таких задач.

Например, рассмотрим задачу: «В магазин привезли 6 коробок печенья по 5 килограммов в каждой коробке. Сколько всего печенья привезли в магазин?». В данной задаче рассматриваются две единицы массы печенья – коробки и килограммы. В условии задачи печенье измерено в коробках, а требуется измерить его в килограммах. Причем известно, что в старой единице (коробке) содержится 5 новых (5 кг), т.е. 1 коробка – это 5 кг печенья, а 6 коробок – 6 · 1 кор. = 6 · 5 кг = 6 · (5 · 1кг) = (6 · 5) · 1кг = 30 кг.

4. Деление. Пусть отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок е₁ состоит из в отрезков, равных е, то есть m_е (х) = а и m_е (е₁) = в. Выясним, каким числом выражается мера длины отрезка х при единице длины е₁.

х е е₁

По условию для отрезков х и е₁ можно записать равенства х = а · е и е₁ = в · е. Из последнего равенства найдем, что е =е₁ : в. Подставим найденное значение е в равенство х = а · е, применим правило умножения числа на частное и получим х = а · е = а · (е₁ : в) = (а : в) · е₁. Получившаяся запись означает, что мера длины отрезка х при единице е₁ выражается частным чисел а и в.

Таким образом, деление натуральных чисел как мер длин отрезков выражает переход к новой (более крупной) единице длины.

Пусть а = m_е (х) и в = m_е (е₁). Тогда частным натуральных чисел а и в называется натуральное число а : в, равное мере длины отрезка х при новой (более крупной) единице длины е₁.

В начальном курсе математики детям встречаются задачи с величинами, в которых рассматривается действие деления. Определение смысла деления натуральных чисел, являющихся значениями величин, позволяет обосновывать выбор действия при решении таких задач.

Рассмотрим задачу: «Вместимость одного пакета для сока 2 л. Сколько потребуется пакетов, чтобы разлить 14 л сока?».

Чтобы решить задачу, изобразим в виде отрезка 14 л и выясним, сколько раз в нем укладывается отрезок, изображающий 2 л. Получаем: 14 л : 2 л/п = 7 (п.).

2л 2л 2л 2л 2л 2л 2л 1л 2л

Можно также и по-другому обосновать решение задачи. В задаче рассматриваются две единицы объема, занимаемого соком, литр и пакет. Так как в задаче требуется результат измерения сока выразить в пакетах, то есть в новой более крупной единице объема, и известно, что в новой единице (пакете) содержится 2 старые (2 л), то 1 л = 1 п. : 2 .

14 л = 14 · 1 л = 14 · (1 п. : 2) = (14 : 2) ·1 п. = 7 · 1 п. = 7 п.