Метод математической индукции

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство |AB| + |BC| ≥ |AC|.

По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4 < n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3

12 = 7 + 5 14 = 7 + 7 16 = 11 + 5 18 = 13 + 5

20 = 13 + 7

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1 = 1 = 1²

1 + 3 = 4 = 2²

1 + 3 + 5 = 9 = 3²

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 1 + 3 + 5 +…+ (2n - 1) = n² , т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n²

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости приведённой формулы.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n²). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n = 1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n = k вытекает его справедливость и при n = k + 1.

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n = 1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n = 1 + 1 = 2. Из справедливости утверждения для n = 2 вытекает его справедливость для n = 2 + 1 = 3. Отсюда следует справедливость утверждения для n = 4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

Принцип математической индукции: Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n = 1 и из того, что оно истинно для n = k (где k - любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n.

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n > p, где p -фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом.

Если предложение А(n) истинно при n = p и если из предположения, что оно истинно при А(k) вытекает, что оно истинно при А(k+1) для любого k > p, то предложение А(n) истинно для любого n > p.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n = 1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k + 1 в предположении справедливости утверждения для n = k (предположение индукции), т.е. доказывают, что истинность A(k+1) из предположения, что оно истинно при А(k).

Пример 1. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: 1 + 3 + 5 +…+ (2n - 1) = n² .

Решение:

1. Имеем n = 1 = 1². Следовательно, утверждение верно при n = 1, т.е. А(1) истинно.

2. Предположим, что А(k) истинно, то есть утверждение справедливо для n = k: 1 + 3 + 5 +…+ (2k - 1) = k² .

3. Докажем, что утверждение справедливо и для следующего натурального числа n = k + 1, т.е. что 1 + 3 + 5 +…+ (2k - 1) + (2k+1) = (k + 1) ² .

В самом деле, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1) = k ² + 2k + 1 = (k + 1) ² .

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Пример 2. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: 1 + х + х ² + х ³ +…+ х ⁿ = (х ⁿ⁺¹ - 1) / (х - 1)

Решение:

1. При n = 1 получаем

1 + х = (х² - 1) / (х - 1) = (х - 1) (х + 1) / (х-1) = х + 1

следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно.

2. Предположим, что формула верна при n = k, т.е.

+ х + х² + х³ +…+ х^k = (х^k+1 - 1) / (х - 1).

3. Докажем, что тогда выполняется равенство

1 + х + х² + х³ +…+ х^k + x^k+1 = (x^k+2 - 1) / (х - 1).

В самом деле

1+ х + х² + x³ +…+ х^k + x^k+1 = (1 + x + x ² + x ³ +…+ x ^k ) + x ^k+1 = (x ^k+1 -1) / (x - 1) + x ^k+1 = (x ^k+2 - 1) / (x - 1).

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Пример 3. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: 1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² = n (n + 1)(2n + 1) / 6.

Решение:

1. Пусть n = 1, тогда Х ₁ =1 ² = 1(1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1.

Значит, при n = 1 утверждение верно.

2. Предположим, что утверждение верно при n = k

Х _k = k ² = k (k+1)(2k+1)/6.

3. Докажем, что данное утверждение истинно при n = k + 1

X _k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X _k+1 = 1² + 2² + 3² +…+ k² + (k + 1)² = k (k + 1) (2k + 1) / 6 + (k+1)² = (k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)² ) / 6 = (k + 1)(k (2k + 1)+ 6(k + 1)) / 6 = (k + 1) (2k² + 7k + 6) / 6 = (k+1) (2 (k + 3/2) (k + 2)) / 6 = (k +1) (k + 2)(2k + 3) / 6.

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Пример 4. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство: 1³ +2³ +3³ +…+n³ = n² (n+1)² / 4.

Решение:

1. Пусть n = 1. Тогда Х ₁ =1³ =1² (1+1)² / 4=1.

Мы видим, что при n = 1 утверждение верно.

2. Предположим, что равенство верно при n = k

X _k = k² (k+1)² / 4.

3. Докажем истинность этого утверждения для n = k + 1, т.е.

Х _k+1 = (k+1)² (k+2)² / 4.

X _k+1 = 1³ + 2³ +…+ k³ + (k + 1)³ = k² (k + 1)² / 4+ (k + 1)³ = (k² (k + 1)² + 4 (k + 1)³) / 4 = (k + 1)² (k ² +4k + 4) / 4 = (k + 1)² (k + 2)² / 4.

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Пример 5. Доказать, что 1³ - 2³ +3³ - 4³ +…+ (2n - 1)³ - (2n)³ = - n² (4n + 3) для любого натурального n.

Решение:

1. Пусть n = 1. Тогда имеем 1³ - 2³ = - 1³ (4 + 3), то есть -7 = -7. Истинное равенство.

2. Предположим, что равенство верно n = k, тогда

1³ - 2³ + 3³ - 4³ +…+ (2k - 1)³ - (2k)³ = - k² (4k + 3).

3. Докажем истинность этого равенства при n = k + 1

(1³ - 2³ +…+ (2k - 1)³ - (2k)³) + (2k + 1)³ - (2k + 2)³ = - k² (4k + 3) + (2k + 1)³ - (2k + 2)³ = -(k+1)³ (4(k + 1) + 3).

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Действия над натуральными числами

(порядковая теория)

Сложением называется алгебраическая операция, при которой каждой паре натуральных чисел а и в ставится в соответствие натуральное число с, называемое значением их суммы, и при этом выполняются следующие аксиомы:

1) а + 1 = а´

2) а + в´ = (а + в)´.

Числа а и в называются слагаемыми, а выражение а + в – суммой.

Пользуясь данным определением можно составить таблицу сложения натуральных однозначных чисел.

Будем исходить из того, что непосредственно следующее число за каждым однозначным числом уже получено: 1´ = 2, 2´ = 3, 3´ = 4, 4´ = 5, 5´ = 6, 6´ = 7, 7´ = 8, 8´ = 9, 9´ = 10.

Исходя из аксиомы 1, получаем таблицу «прибавления единицы»:

1 + 1 = 1´= 2

2 + 1 = 2´= 3

…..

9 + 1 = 9´= 10.

Теперь, зная таблицу «+1» и используя аксиому 2, можем вывести таблицу «прибавления к единице»:

1 + 2 = 1 + 1´= (1 + 1)´ = 2´= 3

1 + 3 = 1 + 2´= (1 + 2)´ = 3´= 4

…..

1 + 9 = 1 + 8´= (1 + 8)´ = 9´= 10.

Аналогично мы можем получить таблицу «прибавления к двум»:

2 + 2 = 2 + 1´= (2 + 1)´ = 3´= 4

2 + 3 = 2 + 2´= (2 + 2)´ = 4´= 5

….

2 + 8 = 2 + 7´= (2 + 7)´ = 9´= 10.

Продолжая этот процесс, получим всю таблицу сложения.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения натуральных чисел.

1. Значение суммы любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон сложения: ( а, в  N) (а + в =в + а).

3. Ассоциативный закон сложения: ( а, в, с  N) ((а + в) + с = а + (в +с)).

4. Монотонность сложения: ( а, в, с  N) (если а = в, то а + с = в + с).

Доказательство данных законов осуществляется методом математической индукции (аксиома 4 из списка аксиом Пеано).

Вычитание в данном подходе рассматривается как действие обратное сложению.

Значением разности натуральных чисел а и в называется натуральное число с, удовлетворяющее условию в + с = а.

Обозначают: с = а – в. Число а называется уменьшаемым, в – вычитаемым, а – в – разностью, с – значением разности.

Действие, с помощью которого находится значение разности, называется вычитанием.

Рассмотрим свойства, связанные с действием вычитания.

1. Разность натуральных чисел а и в существует и единственна тогда и только тогда, когда в < а.

2. Правило вычитания числа из суммы: (а + в) – с = (а – с)+ в = а + (в – с), если а > c и в > c.

3. Правило вычитания суммы из числа: а – (в +с) = (а – в) – с = (а – с) – в.

4. Правило вычитания разности из числа: а – (в - с) = (а – в) + с = (а + с) – в.

5. Правило прибавления разности к числу: а +(в - с) =(а + в)– с = (а – с) + в, если а > c.

Умножением называется алгебраическая операция, при которой каждой паре натуральных чисел а и в ставится в соответствие натуральное число с, называемое значением их произведения, и при этом выполняются следующие аксиомы:

1) а  1 = а

2) а  в´ = а  в + а.

Числа а и в называются множителями, а выражение а  в – произведением.

Используя определение и таблицу сложения, можно составить таблицу умножения однозначных натуральных чисел. Как и таблица сложения, таблица умножения составляется поэтапно: сначала рассматривается умножение любого числа на единицу и единицы на любое число, затем число 2 на числа: 2, 3, 4 и т.д.

1) 1  1 = 1  0´ = 1  0 + 1 = 0 + 1 = 1

2  1 = 2  0´ = 2  0 + 2 = 0 + 2 = 2

3  1 = 3  0´ = 3  0 + 3 = 0 + 3 = 3

…

2) 1  2 = 1  1´ = 1  1 + 1 = 1 + 1 = 2

1  3 = 1  2´ = 1  2 + 1 = 2 + 1 = 3

1  4 = 1  3´ = 1  3 + 1 = 3 + 1 = 4

…

3) 2  2 = 2  1´ = 2  1 + 2 = 2 + 2 = 4

2  3 = 2  2´ = 2  2 + 2 = 4 + 2 = 6

2  4 = 2  3´ = 2  3 + 2 = 6 + 2 = 8

…

4) 3  2 = 3  1´ = 3  1 + 3 = 3 + 3 = 6

3  3 = 3  2´ = 3  2 + 3 = 6 + 3 = 9

3  4 = 3  3´ = 3  3 + 3 = 9 + 3 = 12

…

Продолжая описанный процесс, получим всю таблицу умножения.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция умножения натуральных чисел.

1. Значение произведения любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон умножения: ( а, в  N) (а  в = в  а).

3. Ассоциативный закон умножения: ( а, в, с  N) ((а  в)  с = а  (в  с)).

4. Монотонность умножения: (  а, в, с  N) (если а = в, то а  с = в  с).

5. Дистрибутивность умножения относительно сложения слева: ( а, в, с  N) (а (в +с) = а  в + а  с).

6. Дистрибутивность умножения относительно сложения справа: ( а, в, с  N) ((а + в) с = а  с + в  с).

7. Дистрибутивность умножения относительно вычитания слева: ( а, в, с  N) (а (в - с) = а  в - а  с).

8. Дистрибутивность умножения относительно вычитания справа: ( а, в, с  N) ((а - в) с = а  с - в  с).

Доказательство данных законов осуществляется методом математической индукции.

В данном подходе деление натуральных чисел вводится как действие обратное умножению.

Значением частного двух натуральных чисел а и в называется натуральное число с, удовлетворяющее условию в  с = а.

Обозначают с = а : в. Число а называют делимым, число в – делителем, выражение а : в – частным, число с – значением частного.

Действие, с помощью которого находится значение частного, называется делением.

Рассмотрим свойства, связанные с действием деления.

1. Для того чтобы существовало значение частного натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в ≤ а. Если значение частного существует, то оно единственно.

2. Деление на нуль невозможно.

3. Правило деления суммы на число: (а + в): с = а : с + в : с.

4. Правило деления разности на число: (а - в): с = а : с - в : с.

5. Правило деления произведения на число: (а в): с = (а : с)  в = а (в : с), если а с и в с.

6. Правило деления числа на произведение: а : (в   с) = (а : в) : с = (а : с) : в.

7. Правило умножения числа на частное: а  (в : с) =(а в) : с = (а : с) в.

В начальном курсе математики определение деления как действия, обратного умножению, в общем виде не дается, но им постоянно пользуются. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Например, выполняя деление 48 на 16, дети рассуждают так: Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, которое при умножении на 16 дает 48, таким числом будет 3, следовательно 48 : 16 = 3.

Порядковые и количественные натуральные числа.

Счет. Сравнение чисел

В аксиоматической теории натуральное число рассматривается как элемент специального множества, представляющего собой бесконечный упорядоченный ряд, в котором обязательно существует первый элемент и следующие за ним числа расположены в определенном порядке. Другими словами, аксиоматическая теория рассматривает натуральное число, как число порядковое.

В количественной теории натуральное число понимается как количественная характеристика конечного множества.

В ыясним, каким образом связаны между собой эти два различных смысла натурального числа. Для этого рассмотрим процесс счета элементов множества А, изображенного на рисунке.

А

Указывая на любой из элементов этого множества, мы говорим «один», указывая на другой, говорим «два», затем «три», «четыре», «пять». На этом процесс счета заканчивается, так как использованы все элементы множества А. Сосчитав элементы множества А, мы говорим, что множество А содержит пять элементов, то есть получаем количественную характеристику этого множества. В данном случае натуральное число выступает как количественное.

Однако в процессе счета мы не только получили количественную характеристику множества, но и упорядочили его. Про элемент, которому соответствует число «один», можно сказать «первый», про элемент, которому соответствует число «два», - «второй», затем «третий», «четвертый». В этом случае натуральное число представляет собой порядковый номер некоторого элемента и поэтому называется порядковым натуральным числом.

Ведя количественный счет предметов, важно соблюдать следующие правила:

1. Начинать счет можно с любого элемента множества.

2. Ни один элемент не должен быть пропущен.

3. Ни один элемент не должен быть сосчитан дважды.

4. Первым при счете называется число «один».

5. Числа, используемые при счете, следуют один за другим без пропусков.

При соблюдении указанных правил после окончания счета между множеством А и некоторым подмножеством натурального ряда устанавливается взаимно однозначное соответствие. В рассмотренном случае таким подмножеством является множество {1, 2, 3, 4, 5}, которое называют отрезком натурального ряда.

Отрезком натурального ряда N_а называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Например, отрезок N₃ = {1, 2, 3} – это множество натуральных чисел, не превосходящих 3.

Введенное определение отрезка натурального ряда позволяет уточнить понятие счета элементов множества.

Счетом элементов непустого конечного множества А называется процесс установления взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда N_а.

Тесная связь порядкового и количественного числа нашла отражение в процессе обучения математике периода детства. С этими сторонами числа дети знакомятся уже при изучении чисел первого десятка. Происходит это при счете элементов различных множеств. Ответ на вопрос: «Сколько предметов содержит данное множество?» выражается количественным натуральным числом, а порядковое число указывает, какое место при счете занимает тот или иной предмет, и отвечает на вопрос: «Которым по счету будет данный предмет?».

Выясним теперь, на какой теоретической основе происходит сравнение чисел.

Пусть даны два натуральных числа а и в. С теоретико-множественной точки зрения они представляют собой число элементов конечных множеств А и В: а = n (А), в = n (В). Если эти множества равномощны, то им соответствует одно и то же число, т.е. а = в.

Итак, числа а и в равны, если они определяются равномощными множествами.

Если множества А и В не равномощны, то числа, определяемые ими, различны.

Если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и n (А) = а, n (В) = в, то говорят, что число а меньше в, и пишут: а < в или в больше а и пишут: в > а.

Данные определения используются в процессе обучения детей математике в период детства. Например, при введении записи 4 = 4 рассматривают два равночисленных множества квадратов и кругов.

При изучении отношения 4 < 5 проводятся рассуждения: возьмем 4 квадрата и 5 кругов, на каждый квадрат положим круг, видим, что один круг остался лишним, значит квадратов меньше, чем кругов, поэтому можно записать: 4 < 5.

Выделение в множестве В собственного подмножества, равномощного множеству А, на практике происходит различными способами: наложением, приложением, путем образования пар и т.п.

Изложенный подход к определению отношения «меньше» имеет ограниченное применение, он может быть использован для сравнения чисел в пределах 20, поскольку связан с непосредственным сравнением групп предметов.

Рассмотрим другие определения отношения «меньше».

П усть а < в и а = n (А), в = n (В), множество А равномощно В₁ (А  В₁), где В₁ – собственное подмножество множества В. Обозначим данные положения на рисунке.

Так как В₁  В, то В можно представить в виде объединения множеств В₁ и В₂, где (В₂ = В \ В₁), т.е. В = В₁  В₂ и следовательно n (В) = n (В₁  В₂). Поскольку В₁ и В₂ не пересекаются, то по определению суммы n (В) = n (В₁) + n (В₂) (*). По условию А  В₁, т.е. n (А) = n (В₁). Обозначим численность множества В₂ через с (n (В₂) = с), тогда равенство (*) принимает вид в = а + с, т.е. из того, что а < в следует, что в = а + с.

Таким образом, мы получили другое определение отношения меньше.

Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = в.

Объясним, пользуясь этим определением, что 4 < 6.

4 < 6, поскольку существует такое натуральное число 2, что 4 + 2 = 6.

Данный способ определения отношения «меньше» так же используется в процессе обучения детей. Об этом говорит наличие пар записей: 5 + 1 = 6, 5 < 6; 7 + 1 = 8, 8 > 7.

Рассмотрим еще один способ сравнения чисел.

Пусть а < в. Тогда про любое натуральное число с можно сказать, что если с ≤ а, то с < в. Это означает, что при а < в отрезок натурального ряда N_а является собственным подмножеством отрезка N_в. Справедливо и обратное утверждение.

Таким образом, мы получаем еще одно определение отношения «меньше»:

Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда отрезок натурального ряда N_а является собственным подмножеством отрезка этого ряда N_в.

Например, с помощью данного определения объясним, почему 4 < 6. Отрезок натурального ряда N₄ имеет вид: {1, 2, 3, 4}, отрезок натурального ряда N₆: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Видим, что N₄  N₆, следовательно, 4 < 6.

Данное определение отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание места числа в натуральном ряду. В обучении математике периода детства этот способ встречается в виде правила: число, которое при счете встречается раньше, всегда меньше числа, которое идет позднее.