Порядковая теория натуральных чисел
В конце 19 века была построена порядковая теория натуральных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858-1932гг.), построившего эту теорию на аксиоматической основе.
Аксиоматический подход к построению теории состоит в следующем: 1) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через основные или ранее определенные; 2) выделяются некоторые исходные предложения, или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все остальные предложения теории – теоремы – логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее доказанных фактов, теорем.
Аксиоматический подход применяется для построения теории, о которой уже имеются определенные, сформированные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».
Поход к построению теории натуральных чисел, берущий начало от Пеано, представляет собой определенный способ математизации интуитивного представления о натуральном ряде чисел.
В качестве основных (неопределяемых) используются следующие понятия: множество, элемент, содержится (принадлежит). Множество натуральных чисел обозначается N, элементы множества – а, в, с … . Основным отношением выбирается отношение «непосредственно следовать за». Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а´.
Отношение «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам Пеано:
Аксиома 1. Единица непосредственно не следует ни за каким натуральным числом (т.е. единица – это «первое» натуральное число и не является «правым соседом» никакого другого натурального числа).
Аксиома 2. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число (т.е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа»).
Аксиома 3. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (т.е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число - точно за одним).
Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».
Аксиома 4. Если множество М есть подмножество множества натуральных чисел N, и известно, что оно содержит единицу и вместе с некоторым натуральным числом а содержит натуральное число а´, непосредственно следующее за а, то это множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел N (т.е. М = N).
Данная аксиома, хотя по своему содержанию более сложная, чем первые три, но она также выражает достаточно простое свойство: с помощью последовательного прибавления единицы, начиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Всякий раз, когда мы доходим до некоторого числа а, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа а´.
Опираясь на введенное отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, характеризующие множество N, можно дать следующее определение натурального числа.
Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральными числами.
Аксиоматический подход к теории натуральных чисел при изучении математики в период детства не рассматривается, однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах 1-4, являются предметом изучения в период детства и используются при решении задач. При рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом широко используются понятия «следует», «предшествует», прибавление и вычитание 1. Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение ранее изученного отрезка N натурального ряда чисел. При таком подходе создаются условия для того, чтобы дети подметили некоторые общие свойства чисел натурального ряда: не только данное, рассматриваемое на этом занятии число, но и вообще любое число может быть получено прибавлением 1 к числу, которое встречается при счете перед ним, или вычитанием 1 из числа, которое идет при счете сразу после него; любое число на 1 больше, чем ему предшествующее. Таким образом, дети убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.