Количественная теория натуральных чисел

В основу данной теории положены понятия конечного множества и взаимно однозначного соответствия. Поэтому в данной теории рассматривается теоретико-множественный смысл натурального числа.

Построение системы натуральных чисел на основе теории множеств связывают с именем Георга Кантора, который в 19 веке создал саму теорию множеств.

Вспомним что два множества А и В называются равномощными (А  В), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (биективное отображение). Для конечных множеств вместо термина «равномощные» используется термин «равночисленные».

Таким образом, два конечных множества А и В называются равночисленными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Отношение равночисленности на множестве всех конечных множеств обладает следующими свойствами:

1. Рефлексивности – «А равночисленно самому себе», т.е. А  А.

2. Симметричности – «Если А равночисленно В, то В равночисленно А», т.е. А  В  В  А.

3. Транзитивности – «Если А равночисленно В и В равночисленно С, то А равночисленно С», т.е. А  В и В  С  А  С.

Это означает, что отношение равночисленности является отношением эквивалентности и определяет разбиение всех конечных множеств на классы эквивалентности. В один и тот же класс входят множества самой различной природы, общим для них является только свойство равночисленности, то есть то, что они содержат одинаковое количество элементов.

Например, множество сторон квадрата содержится в том же классе эквивалентности, что и множество времен года, множество лап у кошки, множество букв в слове «снег».

Назовем натуральным числом общее свойство класса непустых конечных равночисленных друг другу множеств.

Так, число 3 означает не три палочки, три стороны треугольника, три пары лекций, а то общее свойство, которым обладают все эти множества – их общую количественную характеристику.

Таким образом, в количественной теории натуральное число понимается как количество элементов конечного множества.

Каждому классу соответствует одно и только одно натуральное число, каждому натуральному числу – один и только один класс равномощных конечных множеств.

Каждый класс равночисленных множеств вполне определяется любым своим представителем, поэтому можно говорить о натуральном числе, определенном любым множеством данного класса. Например, класс множеств, равночисленных множеству вершин треугольника и определяющий натуральное число «три» можно задать, указав множество А = {а, в, с}. Следовательно, множество А определяет натуральное число «три».

Вообще каждому конечному множеству А соответствует одно и только одно натуральное число а равное количеству элементов этого множества, но каждому натуральному числу а соответствуют различные равномощные множества из одного класса эквивалентности. Поэтому числу «семь» будет соответствовать и множество дней недели, и множество цветов радуги, и множество букв в слове «ученица» и др.

Число нуль также имеет теоретико-множественный смысл, оно ставится в соответствие пустому множеству.

В курсе математики периода детства количественное натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равночисленных множеств. Поэтому, когда изучается число «один», детям предлагаются иллюстрации, на которых изображен один объект: одно яблоко, одна девочка, одно ведерко и т.д.; когда рассматривается число «четыре», детям предлагаются изображения различных совокупностей, содержащих четыре элемента: четыре кубика, четыре цветочка, четыре палочки и т.д. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, число элементов в множестве определяется путем пересчета.

Действия над натуральными числами

(количественная теория)

Операция сложения натуральных чисел в количественной теории связана с операцией объединения конечных множеств.

Пусть два множества А и В – конечные и непересекающиеся, т.е. А  В = .

Суммой натуральных чисел а и в называется натуральное число а + в, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В таких, что n(А) = а, n(В) = в.

Запись n (А) = а означает, что численность множества А равна а, а n (В) = в - численность множества В равна в.

Исходя из определения можно записать: а + в = n (А  В), где а = n (А), в = n (В).

Операция, с помощью которой по данным натуральным числам а и в находят натуральное число с, являющееся их значением суммы, называется сложением.

В записи а + в = с числа а и в называются слагаемыми, а + в называется суммой, а число с - называется значением суммы.

В курсе математики периода детства сложение вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух предметных множеств. Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых текстовых задач. Например, рассмотрим задачу «На тарелке лежало 2 яблока и 3 груши. Сколько всего фруктов лежало на тарелке?». Представим наглядно условие задачи. Для этого возьмем 2 яблока (или 2 кружка) и 3 груши (или 3 треугольника). Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к яблокам присоединить груши (или к кружкам присоединить треугольники), т.е. объединить два множества (множество яблок (кружков) и множество груш (треугольников)), и сосчитать, сколько оказалось элементов в этом объединении.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения натуральных чисел.

1. Каковы бы ни были два натуральных числа а и в, всегда существует единственное натуральное число с, являющееся их значением суммы. Другими словами, значение суммы любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон сложения: ( а, в  N) (а + в = в + а).

3. Ассоциативный закон сложения: ( а, в, с  N) ((а + в) + с = а + (в +с)).

4. Монотонность сложения: ( а, в, с  N) (если а < в, то а + с < в + с).

Доказательство закона коммутативности сложения опирается на коммутативность операции объединения двух множеств. Доказательство ассоциативного закона сложения опирается на ассоциативность операции объединения трех множеств.

Докажем второй закон - коммутативный закон сложения: Построим такие конечные множества А и В, что n (А) = а, n (В) = в и А  В = . Для любых множеств справедлив коммутативный закон объединения А В = В  А. Равные конечные множества имеют равные численности, то есть n (А  В) = n (В  А).

По определению суммы натуральных чисел n (А  В) = n (А) + n (В) = а + в; n (В  А) = n (В) + n (А) = в +а.

Следовательно, а + в = в + а верно для любых натуральных чисел.

Выясним теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел. Для этого рассмотрим множества А = {а, в, с, d, е } и В ={в, d, е}. Если удалить В из А, то останется множество А\ В = {а, с}, являющееся дополнением множества В до множества А (на рисунке А\ В - закрашенная область). Полученное множество состоит из двух элементов.

Из приведенного примера видно, что если n (А) =5, n (В) = 3 и В  А, то 5 – 3 = 2, где 2 = n (А \ В). То есть разность чисел 5 и 3 является числом элементов в дополнении множества В до множества А. Это наблюдение и положено в основу определения разности натуральных чисел в количественной теории.

Разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число а – в, равное числу элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n (А) = а, n (В) = в и В  А.

Исходя из определения можно записать: а - в = n (А \ В), где а = n (А), в = n (В) и В  А.

Действие, с помощью которого по данным натуральным числам а и в находят натуральное число с, являющееся их значением разности, называется вычитанием.

В записи а - в = с число а называется уменьшаемым, число в - вычитаемым, а - в называется разностью, а число с - значением разности.

В математике, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания обращаются к действию сложения. Это связано с тем, что между действиями сложения и вычитания имеется определенная связь. Покажем что это за связь.

Пусть даны натуральные числа а и в, такие, что а = n (А), в = n (В) и В  А. Изобразим на кругах Эйлера-Венна множества А, В и А \ В.

А

Из рисунка видно, что А = В  (А \ В), откуда n (А) = n (В  (А \ В)). Поскольку В  (А\В) = , то получим n (А) = n (В) + n (А \ В) или а = в + (а – в). Данное равенство показывает, что разность а - в есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.

Данный факт позволяет по-другому дать определение значения разности.

Значением разности натуральных чисел а и в называется такое натуральное число с, сумма которого и числа в равна а.

Аналогично можно провести теоретико-множественное истолкование обратной связи. Таким образом, а-в = с а =в + с.

Говорят, что действие вычитания является обратным действию сложения.

В курсе математики периода детства первоначально вычитание натуральных чисел рассматривается на основе практических упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового множества – дополнения выделенного подмножества. При этом главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла вычитания является решение простых текстовых задач.

Рассмотрим свойства, связанные с действием вычитания.

1. Разность натуральных чисел а и в существует и единственна тогда и только тогда, когда в < а.

2. Правило вычитания числа из суммы: (а + в) – с = (а – с)+ в = а + (в – с), если а > c и в > c.

3. Правило вычитания суммы из числа: а – (в +с) = (а – в) – с = (а – с) – в.

4. Правило вычитания разности из числа: а – (в - с) = (а – в) + с = (а + с) – в.

5. Правило прибавления разности к числу: а +(в - с) =(а + в)– с = (а – с) + в, если а > c.

Дадим теоретико-множественное обоснование правила вычитания суммы из числа. С этой целью рассмотрим три конечных множества А, В и С таких, что n (А) = а, n (В) = в, n (С) = с, В С =  и В  С  А. Тогда а – (в + с) = n ( А\ (В  С)), (а – в) – с = n (( А\ В) \ С), (а – с) – в = n (( А\ С) \ В).

Покажем сначала, что выполняется равенство а – (в +с) = (а – в) – с.

Рис. (а) Рис. (б)

На диаграммах Эйлера-Венна множество А\ (В  С) представлено светлой областью на рисунке (а), а множество ( А\ В) \ С – темной областью на рисунке (б). Сравнивая указанные области, убеждаемся в том, что они одинаковы. Значит, для множеств А, В и С выполняется равенство А\ (В  С) = ( А\ В) \ С. Следовательно, n(А\(В  С)) = n((А\ В)\ С), то есть а – (в +с) = (а – в) –с.

Аналогично показывается, что а – (в +с) = (а – с) – в. И, на основании этого, делается вывод о выполнимости свойства вычитания из числа суммы а – (в +с) = (а – в) – с = (а – с) – в.

Понятие произведения натуральных чисел в количественной теории может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Произведением натуральных чисел а и в называется такое натуральное число а  в, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) а  в = а + а +…..+ а при в > 1;

в слагаемых

2) а  1 = а при в = 1;

3) а  0 = 0 при в = 0.

Действие, при помощи которого находят значение произведения чисел а и в, называется умножением, числа а и в называются множителями, выражение а  в – произведением, число, полученное в результате умножения, называется значением произведения.

Данное определение произведения имеет следующий теоретико-множественный смысл. Если множества А₁, А₂, А₃, …, А_в имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит а  в элементов. Следовательно, произведение а  в – это число элементов в объединении в попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов.

С данным подходом к умножению учащиеся знакомятся в начальных классах. В учебнике математики дается следующее определение умножения: «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением». Смысл этого определения раскрывается при решении простых задач.

Например, рассмотрим задачу: «На каждую рубашку нужно пришить 5 пуговиц. Сколько пуговиц нужно пришить на 4 таких рубашки?». В данной задаче требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 4 множеств, а в каждом множестве содержится по 5 элементов. Согласно определению это число находится умножением: 5 4=20 (пуговиц).

Второй подход к определению действия умножения связан с декартовым произведением двух множеств. Пусть нам даны два множества А = {а, в, с} и В = {1, 2}. Найдем их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:

(а, 1), (в, 1), (с, 1),

(а, 2), (в, 2), (с, 2).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую вторую компоненту, а в каждом столбце одинаковая первая компонента. При этом строки не имеют ни одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А х В равно 3 + 3 = 6. С другой стороны, n (А) = 3, n (В) = 2 и 3 2 = 6. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А и В равно произведению n (А) n (В).

Вообще, если А и В – конечные множества, то n (А х В) = n (А) n (В).

Таким образом, произведением натуральных чисел а и в называется натуральное число а  в, равное числу элементов декартова произведения множеств А и В таких, что n (А) = а, n (В) = в.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция умножения натуральных чисел.

1. Каковы бы ни были два натуральных числа а и в, всегда существует единственное натуральное число с, являющееся их значением произведения. Другими словами, значение произведения любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон умножения: ( а, в  N) (а  в = в  а).

3. Ассоциативный закон умножения: ( а, в, с  N) ((а  в)  с = а  (в  с)).

4. Монотонность умножения: (  а, в, с  N) (если а < в, то а  с < в  с).

5. Дистрибутивность умножения относительно сложения слева: ( а, в, с  N) (а (в +с) = а  в + а  с).

6. Дистрибутивность умножения относительно сложения справа: ( а, в, с  N) ((а + в) с = а  с + в  с).

7. Дистрибутивность умножения относительно вычитания слева: ( а, в, с  N) (а (в - с) = а  в - а  с).

8. Дистрибутивность умножения относительно вычитания справа: ( а, в, с  N) ((а - в) с = а  с - в  с).

Справедливость данных законов опирается на выполнимость соответствующих свойств для операций над множествами.

Докажем справедливость закона 5. Для того возьмем конечные множества А, В и С, которые удовлетворяют следующим условиям: n (А) = а, n (В) = в, n (С) = с и В  С = .

Поскольку для любых множеств имеет место дистрибутивность декартова произведения относительно объединения, то он выполняется и для наших множеств А, В и С, то есть А х (В  С) = (А х В)  (А х С).

Из равенства конечных множеств вытекает равенство их численностей. Это означает, что n (А х (В  С)) = n ((А х В)  (А х С)). Но n (А х (В  С)) = а (в +с), а n ((А х В)  (А х С))= а в + а  с, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теоретико-множественный смысл частного. Операция деления на множестве натуральных чисел связана с разбиением множества на классы. При этом решаются две задачи.

1. 10 яблок разложили на несколько тарелок, по 2 яблока на каждую тарелку. Сколько тарелок потребовалось?

Ответ на вопрос задачи находится действием деления:

10 : 2 = 5 (тарелок).

Проанализируем решение этой задачи. В задаче рассматривается множество, в котором 10 элементов. Оно разбивается на подмножества, в каждом из которых по 2 элемента, т.е. на равночисленные подмножества. Кроме того, они попарно не пересекаются. В задаче спрашивается, сколько таких подмножеств получилось. Таким образом, число 5, полученное в ответе, - это число двухэлементных подмножеств, на которое разбито множество из 10 элементов.

2. Учительница раздала 6 тетрадей 3 ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?

Данная задача также решается действием делением:

6 : 3 = 2 (тетради).

Но число 2 здесь играет другую роль – оно обозначает число элементов в каждом из трех равночисленных непересекающихся подмножеств, на которые разбито множество, состоящее из 6 элементов.

Опишем эти задачи в общем виде и дадим определение частного натуральных чисел.

1. Имеем множество А, такое что n (А) = а. Данное множество необходимо разбить на попарно непересекающиеся подмножества, в каждом из которых содержится по в элементов. Тогда частное а : в показывает, сколько подмножеств содержится в таком разбиении. В этом случае говорят о делении по содержанию.

2. Имеем множество А, такое что n (А) = а. Теперь множество необходимо разбить на в равночисленных попарно непересекающихся подмножеств. Тогда частное а : в показывает, сколько элементов содержится в каждом подмножестве. В этом случае говорят о делении на равные части.

Таким образом, определение частного натуральных чисел будет иметь следующий вид:

Пусть а = n (А) и множество А разбито на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества, тогда

1) если в – число элементов каждого подмножества, то частным а : в называется число подмножеств в разбиении;

2) если в – число подмножеств в разбиении, то частным а : в называется число элементов каждого подмножества.

В записи а : в = с число а называется делимым, число в – делителем, выражение а : в – частным, а число с - значением частного. Действие, при помощи которого находят значение частного, называется делением.

В математике, чтобы проверить правильность выполнения действия деления обращаются к действию умножения. Это связано с тем, что между действиями умножения и деления имеется определенная связь. Покажем что это за связь.

Пусть а = n(А) и множество А разбито на в попарно непересекающихся равночисленных подмножеств, т.е. А = А₁  А₂  А₃  …  А_в, где n (А₁) = n (А₂) = n (А₃) = …= n (А_в) = а : в = с.

Но тогда по определению суммы n(А) = n (А₁  А₂  А₃  …  А_в) = n (А₁) + n (А₂) + …+ n (А_в). Учитывая определение произведения, последнее равенство можно записать так:

а = с + с + с + …+ с = с в.

в слагаемых

Равенство а = в  с выражает связь операций деления и умножения. Данный факт позволяет по-другому дать определение значения частного.

Значением частного натуральных чисел а и в называется такое натуральное число с = а : в, которое в произведении с числом в дает число а.

Аналогично можно провести теоретико-множественное истолкование обратной связи. Таким образом, а : в = с  а = в с.

Рассмотрим свойства, связанные с действием деления.

1. Для того чтобы существовало значение частного натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в ≤ а. Если значение частного существует, то оно единственно.

2. Деление на нуль невозможно.

3. Правило деления суммы на число: (а + в): с = а : с + в : с.

4. Правило деления разности на число: (а - в): с = а : с - в : с.

5. Правило деления произведения на число: (а в): с = (а : с)  в = а (в : с), если а с и в с.

6. Правило деления числа на произведение: а : (в   с) =(а : в): с = (а : с) : в.

7. Правило умножения числа на частное: а  (в : с) =(а в) : с = (а : с) в.

Докажем справедливость свойства 3. Пусть даны множества А и В такие, что А  В =  и n(А) = а, n(В) = в. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение на с подмножеств. Если при этом множество А состоит из а : с подмножеств, а В – из в:с подмножеств, то А  В состоит из а : с + в : с подмножеств. Это и означает, что (а + в): с = а : с + в : с.