4. Математические модели числа
Возникновение понятия натурального числа
Понятие натурального числа, как и многие другие математические понятия, возникло из практических потребностей людей и складывалось постепенно. Основной причиной, которая привела человека к созданию натуральных чисел, явилась необходимость сравнивать различные конечные множества по числу элементов.
В ходе развития понятия натурального числа можно выделить несколько этапов.
На первом этапе, в глубокой древности, сравнение множеств по количеству элементов осуществлялось путем непосредственного установления взаимно однозначного соответствия. Так было при дележе добычи, распределения оружия и в других ситуациях. Однако такой метод был применим не всегда. Например, с его помощью нельзя было узнать, в каком из двух удаленных друг от друга стад больше овец. Трудно было и зафиксировать результат сравнения двух множеств.
Поэтому на следующем этапе развития для этих целей стали применяться «множества-посредники». Если множество имело небольшое число элементов, то таким посредником чаще всего были пальцы. Например, о множестве из 5 яблок, человек говорил: «Рука яблок»; а о множестве из 20 стрел – «Стрел столько же, сколько пальцев у человека» или «человек стрел».
При большей численности множеств стали пользоваться специальными множествами-посредниками, состоящими из камешков, узелков, раковин и др. предметов. Если требовалось сравнить два стада по количеству голов, то поступали следующим образом. Устанавливали взаимно однозначное соответствие между множеством голов в первом стаде и множеством ракушек, а затем – между множеством ракушек и количеством голов во втором стаде.
Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых множеств, т.е. числа были именованными. Отвлеченных чисел на этом этапе еще не было.
Оперируя множествами-посредниками, человек постепенно замечал то общее, что существует между множествами, имеющими одного посредника, например между пятью пальцами и пятью яблоками – их количество равно пяти. Так произошло отвлечение от природы элементов и возникло представление о натуральном числе. Это был важнейший этап в становлении понятия натурального числа.
Процесс абстрагирования привел к возникновению общего понятия о числах «один», «два» и первоначально множество натуральных чисел возникло в виде отдельных «островков», не слившихся в единый материк (1, 2, 3 …. 10, 20, 20 без 2, 100, 100 без 10). Лишь затем стали располагать числа в один ряд, прибавляя каждый раз по одному элементу. Так возникло понятие ряда натуральных чисел.
Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Многие трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понятия нуля. Постепенно сложилось представление и о бесконечности множества натуральных чисел.
После того как понятие натурального числа сформировалось, числа стали самостоятельными объектами и появилась возможность изучать их как математические объекты. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название арифметика.
Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый Боэций (473 - 524 гг.).
В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются разделом математики, который называется «теория чисел».
В математике известны различные способы построения теории натуральных чисел. Мы рассмотрим основные идеи только трех: количественной теории, порядковой теории и теории о натуральном числе как результате измерения величин.