Кооперативные игры

, где:

- множество игроков

s ⊂ N – коалиции

1.

: (означает выгодность для игроков вступления в коалиции)

часть максимального дохода полученного i-м игроком

– делёж игры, если:

(условие индивидуальной рациональности: i-й игрок в коалиции получает не меньше, чем мог обеспечить себе самостоятельно);

– множество дележей (множество возможных, практически реализуемых исходов кооперативной игры). Делёж по коалиции S , если:

(т.е. делёж X для коалиции S предпочтительнее дележа y, коалиция обладает возможностью гарантировать своим членам исход не худший, чем ).

Делёж , .

C-ядро – множество всех недоминируемых дележей игры . Делёж Х принадлежит С-ядру если:

(т.е. делёж входит в С-ядро тогда и только тогда, когда удовлетворяет минимальным требованиям каждой коалиции). С-ядро не универсальное решение, поскольку может быть пустым или содержать несколько решений.

D – орграф доминирования игры : - множество вершин D, дуги направлены , если С-ядро – множество вершин D, у которых нет входных дуг).

Внутренне и внешне устойчивое множество называется устойчивым (решением по Нейману-Моргенштерну)
Множество вершин B в орграфе D внутренне устойчиво, если никакие две вершины из B не соединены дугами	Множество вершин B в орграфе D внешне устойчиво, если
Для любых дележей ни один делёж не доминирует другой	Для любого, не принадлежащего B дележа найдётся делёж x из B, доминирующий y
Свойства решения по Нейману-Моргенштерну: - С-ядро всегда содержится в устойчивом множестве. - в орграфе может быть более одного устойчивого множества - в орграфе может не быть устойчивых множеств - в решении по Нейману-Моргенштерну может быть более одного дележа.
Примеры орграфов доминирования
1 2 4 3	1 3 2
Орграф с двумя устойчивыми (внутренне и внешне) множествами: и	Орграф, не содержащий устойчивых множеств

Единственное оптимальное решение игры (не принадлежащее C-ядру) - это вектор Шепли Ф( ) .

– перестановка (произвольное упорядочение) множества ; для каждой коалиции , содержащейся в N, – это коалиция , где .

1.если –перестановка

, то для верно: , т.е.

(атрибут дележа; условие индивидуальной рациональности Ф( ) не формулируется в явном виде, а следует из других аксиом);

3. если , – (

0);

4. - , то:

Игра в форме характеристической функции – «простая», если для любой коалиции S либо (коалиция проигрывает). всегда равна 1 или 0 (принимает значение 1, когда коалиция S – выигрывающая; - проигрывающая).

; коалиция побеждает, если сумма ее голосов (не меньше Q).

Любая взвешенная мажоритарная игра

46