Ч

- Седловая точка

;

истая стратегия ( ) первого (второго) игрока – это возможный ход игрока, выбранный им с вероятностью равной единице, поэтому чистые стратегии игроков А и В можно представить в виде единичных векторов: .

П: платежная матрица		Стратегии игрока В						i
				…		…
Стратегии игрока А				…		…
				…		…
	…	…	…	…	…	…	…	…
				…		…		=	m ax
				…		…
j					=	…
					m in

Если матричная игра не имеет седловой точки, то решение находят в смешанных стратегиях. Смешанная стратегия - вектор или вектор . В смешанных стратегиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку.

Игроки выбирают свои чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, поэтому игра имеет случайный характер и величина выигрыша (проигрыша) - случайна; математическое ожидание выигрыша (проигрыша) - функция от смешанных стратегий : - платежная функция игры		Вероятности выбора игроком B стратегий
Вероятности выбора игроком А стратегий : ;				…
				…
	…	…	…	…	…
				…

П

какой бы выбор по столбам ни сделал игрок , выигрыш игрока , который свои стратегии выбирает по строкам, в худшем случае составит, соответственно: -3, 3, 1, 2

ример 1:

игроку целесообразно выбрать такую стратегию (строку), для которой достигается максимальный выигрыш независимо от того, какой столбец выбрал игрок :

игрок выбирает стратегии по столбцам, поэтому какие бы стратегии ни выбрал игрок , в худшем случае игрок может проиграть: 5, 7, 8, 9.

игрок стремится минимизировать свой проигрыш и выбирает стратегию, соответствующую минимальному проигрышу:

.

Максиминная стратегия игрока - , минимаксная стратегия игрока - .

П

седловая точка

ример 2.

5

1

-4

9 5 6 8

Смешанные стратегии - оптимальны в игре с матрицей и выигрышем , если для них выполняется условие:

Использование в игре оптимальных смешанных стратегий обеспечивает второму игроку проигрыш, не больший, чем при использовании им любой другой стратегии . Если игрок использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок любую чистую стратегию , то проигрыш игрока не превысит цены игры .

Использование в игре оптимальных смешанных стратегий обеспечивает первому игроку выигрыш, не меньший, чем при использовании им любой другой стратегии . Если игрок применяет оптимальную смешанную стратегию , а игрок - любую чистую стратегию , то выигрыш игрока будет не меньше цены игры .

Совокупность оптимальных стратегий и цены игры - решение игры; цена игры равна: .

Чистые стратегии игрока, входящие в его оптимальную смешанную стратегию с вероятностями, отличными от нуля, называют активными стратегиями игрока.

Решение игры можно упростить, выявив доминирование одних стратегий над другими. Доминируемые строки и столбцы вычеркивают

П ример 3. Выполнить все возможные упрощения матричной игры:

В матричной игре дублирующие строки (столбцы) можно опускать, не изменяя решение игры.

Для сравнения стратегий игрока , сравнивают элементы -го и -го столбцов: если все элементы , то стратегия доминирует над стратегией . В матричной игре доминируемые столбцы можно опускать.

Рассматривая стратегии игрока , сравнивают элементы строк и : если , то стратегия - доминирующая, - доминируемая. В матричной игре доминируемые строки можно опускать.

Упрощенная матрица имеет вид:

Чтобы получить матрицу с положительными элементами достаточно прибавить к её элементам, например, 2: .

Пример 4. Выполнить все возможные упрощения матричной игры:

дублирующие строки

доминирующие столбцы = )

Упрощённая матрица, эквивалентная исходной, имеет вид: