Лекция 8. Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Скользящие процессы в релейных системах.
Рассмотрим систему автоматического управления, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с идеальной релейной характеристикой.
Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке
Задача.
Провести качественный анализ процессов
в системе управления методом фазовой
плоскости при
(исследовать собственные движения
системы).
Решение. По заданной структурной схеме составим математическую модель исследуемой системы в виде системы дифференциальных уравнений
(1)
Преобразуем математическую модель исследуемой системы с учетом свойств релейной характеристики (нечетная функция своего аргумента)
(2)
Движение
системы происходит только за счет
наличия ненулевых начальных условий.
В уравнениях (2) физический смысл
переменных состояния:
– выходная переменная системы,
– скорость изменения выходной переменной
системы. Из уравнений (2) получим
дифференциальное уравнение фазовых
траекторий системы
.
(3)
Линия переключения реле на фазовой плоскости задается уравнением
,
. (4)
Справа
от линии переключения (область I)
будет выполняться неравенство
.
Слева от линии переключения (область
II)
будет выполняться неравенство
.
Получим уравнения фазовых траекторий в каждой из этих областей.
Область 1. В этой области , следовательно, уравнение (3) принимает вид
,
(5)
это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Выполним интегрирование дифференциального уравнения (5)
,
,
,
(6)
Уравнение
(6) – это уравнение фазовых траекторий
системы в области 1. Уравнение (6) – это
уравнение парабол, вершины которых
находятся на оси
фазовой плоскости, а ветви парабол
направлены влево. Параболы изображены
на рисунке справа от линии переключения.
Направление движения изображающей
точки по этим фазовым траекториям: в
верхней полуплоскости – движение слева
направо (
);
в нижней полуплоскости – справа налево
(
).
Область
II.
В области II
.
Следовательно, уравнение (3) принимает
вид
.
(7)
Уравнение (7) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий исследуемой системы слева от линии переключения. Интегрирование дифференциального уравнения (7) дает
.
(8)
Уравнение (8) – это уравнение фазовых траекторий системы левее линии переключения (в области II). Уравнение(8) – это уравнение парабол, вершины которых находятся на оси , а ветви парабол направлены вправо. Направление движения изображающей точки: в верхней полуплоскости – справа налево ( ); в нижней полуплоскости - справа налево ( ).
«Сшивая» оба листа по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы.
Из полученных формул и фазового портрета исследуемой системы можно сделать следующие выводы.
Вывод 1. Фазовая плоскость исследуемой системы разбивается на две области границей которых является прямая
– линия переключения релейного элемента системы.
Вывод
2. На линии
переключения можно выделить три
характерных участка, разграниченных
точками
и
линии переключения, точками касания
фазовых траекторий (парабол) линии
переключения. За пределами отрезка
фазовая траектория по одну сторону
линии переключения после перехода через
нее является продолжением траектории
по другую сторону линии переключения.
Внутри отрезка
фазовые траектории подходят к линии
переключения с двух сторон, встречаясь
на нем.
Попав на отрезок , изображающая точка уже не сможет сойти с него, но и не сможет остаться на нем. Скорость движения на не определена, но специальные исследования показывают, что она конечна. Изображающая точка будет скользить по отрезку к началу координат – точке равновесия похожего на устойчивый узел. Отрезок называют отрезком скольжения.