Лекция 6. Построение фазовых портретов нелинейных систем управления по уравнениям первого приближения.

Рассмотрим нелинейную систему автоматического управления, динамика которой описывается уравнениями

, (1)

где функции и полагаем аналитическими во всех точках фазовой плоскости.

Определим точки, характеризующие состояние равновесия, как решение системы нелинейных уравнений

(2)

относительно двух неизвестных и . Обозначим одно из решений уравнений (2) через и . В общем случае система уравнений (2) может иметь не одно, а несколько решений. Исследуем характер фазовых траекторий в окрестности этого состояния равновесия. Для этого с помощью замены переменных

, ,

,

перенесем начало координат в особую точку с координатами (см. рисунок).

По формуле Тейлора функции и в окрестности особой точки представим в виде

,

(3)

,

где , - содержат все члены разложения функции и по формуле Тейлора, у которых степени и выше первой. Поэтому в окрестности особой точки слагаемыми и можно пренебречь.

Тогда с учетом равенств (2) и (3) и полагая

, ,

, .

получим уравнения первого приближения для системы (1) вида

. (4)

Это линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая описывает динамику системы в окрестности состояния равновесия.

С помощью системы уравнений (4) можно выполнить построение фазового портрета нелинейной системы. Возможность построения фазового портрета нелинейной системы по уравнениям первого приближения проиллюстрируем следующим примером.

Лекция 7. Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Реле с гистерезисом и зоной нечувствительности.

Рассмотрим систему автоматического управления, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой общего вида (реле с зоной нечувствительности и гистерезисом). Характеристика реле с зоной нечувствительности и гистерезисом

Характеристика нелинейного звена является нечетной функцией, то есть . Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке

Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Реле с гистерезисом.

Рассмотрим систему автоматического управления, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с нелинейной характеристикой, вид которой показан на рисунке

Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке.

Задача состоит в том, чтобы провести качественный анализ процессов в системе управления методом фазовой плоскости при (исследуются собственные движения системы).

РЕШЕНИЕ. Согласно заданной структурной схеме математической моделью процессов в исследуемой системе являются следующие уравнения

, (1)

. (2)

Уравнение (2) записано с учетом свойства нечетности заданной характеристики.

Для того чтобы упростить аналитические выкладки, выполним преобразование исходной математической модели (1) и (2) системы управления. С этой целью выполним дифференцирование уравнения (1) по времени, а затем подставим в него уравнение (2). В результате чего получаем

, (3)

Уравнение (3) запишем относительно переменных состояния в следующем виде

, (4)

В системе уравнений (4) обозначено: – выходная переменная системы, – скорость изменения выходной переменной.

Из системы уравнений (4) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий, поделив второе уравнение системы (4) на первое

. (5)

Математическую модель заданного нелинейного элемента можно представить в виде следующей системы уравнений

Если , то

, (6)

если , то

. (7)

Уравнения (6) и (7) определяют линию переключения (на рисунках пунктирные линии), которая разделяет фазовую плоскость на две области:

область I, где , область II, где .

ОБЛАСТЬ I. В области I , следовательно уравнение (5) принимает вид

, (8)

Выполним интегрирование уравнения (8), которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

,

,

.

Вычислим интеграл, стоящий в правой части последнего равенства

.

Таким образом, в области I фазовые траектории определяются уравнением

, (9)

где – постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями таким образом, чтобы начальная точка фазовой траектории находилась в области I. Из уравнения (9) следует, что фазовые траектории имеют асимптоту

, (10)

Движение изображающей точки по фазовым траекториям в верхней полуплоскости происходит слева направо, т.к. ; в нижней полуплоскости справа налево, т.к. . На рисунке изображены фазовые траектории системы для области I. Напомним, что для этой области .

ОБЛАСТЬ II. В области II и, следовательно, уравнение (5) принимает вид

, (11)

Уравнение (11) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий во второй области. Выполним интегрирование уравнения (11)

,

,

,

,

.

Таким образом, уравнение фазовых траекторий в области II будет иметь вид

, (12)

где – постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями, таким образом, чтобы начальная точка фазовой траектории находилась в области II.

Как следует из (12) фазовые траектории имеют асимптоту

, (13)

Движение изображающей точки по фазовым траекториям во второй области в верхней полуплоскости происходит слева направо, т.к. ; в нижней полуплоскости справа налево, т.к. . На рисунке изображены фазовые траектории системы для области II. Напомним, что для этой области .

«Сшивая» фазовые портреты для этих двух областей по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы. Анализ фазовых траекторий показывает, что фазовые траектории начинаясь из произвольной точки фазовой плоскости сходятся к некоторой замкнутой кривой – образуют сходящиеся спирали. На фазовой плоскости есть предельный цикл, следовательно, в системе есть автоколебания

.

В рассматриваемом примере, если начальные условия таковы, что изображающая точка находится внутри предельного цикла, то процесс в системе будет иметь вид

Если начальные условия на фазовой плоскости лежат вне предельного цикла, то процесс будет иметь вид

Автоколебания происходят около петли гистерезиса с амплитудой несколько превышающей величину .