Случай 4 Корни характеристического уравнения действительны и разных знаков (седло)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
, (1)
начальные
условия заданы
,
.
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (1) имеет вид
,
(2)
его корни, определяемые равенством
, (3)
являются
действительными и имеют разные знаки
(
).
Решение уравнения (1) аналогично предыдущему случаю имеет вид
.
(4)
Аналогично
предыдущему случаю получаем, что фазовыми
траекториями являются прямые
и
y,
где числа
и
определяются как решение квадратного
уравнения
.
(5)
Но так как и разных знаков, то эти прямые находятся в разных квадрантах фазовой плоскости.
Так
как корни различны, действительны и
имеют разные знаки, то справедливо
,
.
Это значит, что процессы в системе
расходящиеся, система неустойчива.
Фазовые траектории в данном случае
имеют вид
Для исходной системы уравнений уравнения асимптот
,
,
,
,
,
.
Случай 5 Корни характеристического уравнения равны кратные (вырожденный узел ). Рассмотрим систему
.
Матрица динамики системы
.
Характеристическое уравнение системы
.
Так
как корни характеристического уравнения:
,
то существует такая невырожденная
матрица
линейного преобразования
,
которое приводит исходную систему
к виду
,
где в данном случае матрица
имеет вид
.
Тогда относительно переменных и можно записать следующую систему дифференциальных уравнений в виде
.
(*)
Решение системы будет
(**)
Система
уравнений (*) не изменится при одновременной
замене
на
и
на
,
поэтому фазовые траектории будут
симметричны относительно начала
координат. Таким образом, достаточно
изучить поведение фазовых траекторий
только в верхней полуплоскости (
).
В нижней полуплоскости фазовые траектории будут симметричны относительно начала координат.
Положительная и отрицательная полуоси являются фазовыми траекториями.
Для того чтобы получить уравнения фазовых траекторий исключим из уравнений (**) время.
,
,
,
Если , то устойчивый вырожденный узел
Если , то не устойчивый вырожденный узел
Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего линейному дифференциальному уравнению кратны, то особая точка называется вырожденным узлом, при этом, если , то вырожденный узел устойчивый, если же , то вырожденный узел не устойчивый.