Лекция 14. Устойчивость нелинейных управляемых систем. Критерий в.-м. Попова.

Мы будем рассматривать собственные колебания нелинейной управляемой системы, описываемой следующими дифференциальными уравнениями

, ,

, (1)

,

где функция удовлетворяет условию

. (2)

Систему уравнений (1) можно переписать так

, . (3)

Если ввести матрицы

, , , (4)

и обозначить через оператор дифференцирования по времени, то есть , то можно заменить систему дифференциальных уравнений (3) векторным уравнением

, (5)

где через обозначена единичная матрица.

В дополнение к условию (2) будем считать, что функция такова, что её график не выходит из угловой области, показанной на рис. 1,то есть

. (6)

При условие (6) сводится к неравенству

.

При векторное уравнение (5) принимает вид

. (7)

Дифференциальному уравнению (7) соответствует характеристическое уравнение

, (8)

где

. (9)

Случай, когда все корни характеристического уравнения (8) расположены на плоскости комплексного переменного левее мнимой оси, то есть

, ,

будем называть основным случаем. Ниже мы ограничемся рассмотрением лишь основного случая.

Систему уравнений (1) можно в векторной форме записать так

, , . (10)

Исключая x из уравнений (10), получим следующее уравнение

. (11)

Обозначим теперь

. (12)

Уравнение (11) примет вид

. (13)

Матрица может быть записана так

. (14)

Из выражения (14) видно, что функция представляет собой скалярную дробно-рациональную функцию, у которой степень числителя ниже степени знаменателя.

Интерпретация функции .

Управляемой системе, собственные колебания которой описываются уравнениями (1), можно поставить в соответствие структурную схему, изображенную на рис. 2. Схема на рис. 2 представляет собой замкнутую управляемую систему, у которой в цепь обратной связи включен нелинейный элемент. Через обозначен входной сигнал системы.

Рассматриваемая система будет описываться уравнением

, (15)

откуда следует,что

. (16)

В частном случае, когда

, (17)

уравнение (16) принимает следующий вид

, (18)

или

. (19)

Так как согласно (14)

, (20)

то уравнение (19) можно переписать так

. (21)

Собственные колебания замкнутой управляемой системы при будут описываться однородным уравнением, которое получается из уравнения (21) при

. (22)

Характеристическое уравнение, соответсвующее дифференциальному уравнению (22), будет следующим

. (23)

В рассматриваемом здесь основном случае все нули полинома расположены в левой полуплоскости комплексного переменного . Поэтому для того, чтобы при замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой, то есть характеристическое уравнение (23) не имело корней В правой полуплоскости ,достаточно в соответствии с критерием Найквиста, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис. 3) , или годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис.4).

Так как функции удовлетворяют условию (6), то принадлежащие к этому классу линейные функции удовлетворяют условию , или

(24)

Поэтому для того, чтобы замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой при любой функции , где , необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис 5). В случае, когда , имеем , то есть запретной зоной будет интервал . Само начало координат в запретную зону не включается, ибо мы рассматриваем функции с любым, сколь угодно большим, но конечным значением .