Несимметричные автоколебания. Постоянные ошибки

Обратимся к нелинейной системе с внешним воздействием , блок - схема которой представлена на рисунке

Тогда уравнение динамики замкнутой системы будет иметь вид

, (1)

где операторный многочлен зависит от места приложения внешнего воздействия. Положим правую часть уравнения (1) постоянной

. (2)

Это может быть в следующих случаях

1)

2) ,

т.е. соответственно для систем без астатизма и с астатизмом.

Итак, рассмотрим уравнение системы в виде

. (3)

В этом случае за счет постоянной правой части уравнения появится постоянная составляющая в периодическом решении. Поэтому решение ищется в виде

(4)

Величина характеризует постоянную статическую или скоростную ошибку системы.

Однако несимметричные колебания могут иметь место и при отсутствии внешнего воздействия, т. е. в системе

, (5)

если – нелинейное звено с несимметричной характеристикой. Это проиллюстрировано на рисунке.

Постоянная составляющая на выходе нелинейности возникает даже при симметричном входе . Затем постоянная составляющая, вообще говоря, пройдет на вход через линейную часть системы и приведет к решению вида (4). Следовательно, статическая ошибка в нелинейной систе­ме может иметь место и без внешнего воздействия – за счет несимметрии нелинейности.

Гармоническая линеаризация в случае несимметричных колебаний имеет вид

, (6)

где – постоянная составляющая

, (7)

и – коэффициенты гармонической линеаризации, которые рассчитываются по формулам

, (8)

, (9)

Подставим искомое решение (4) и результат гармонической линеаризации нелинейности (6) в заданное уравнение системы (3)

.

Выделим отсюда уравнение для постоянных составляющей

(10)

и уравнение для периодических составляющих

. (11)

Видно, что постоянная составляющая и колебательная составляющая определяются не в отдельности, а только путем совместного решения этих уравнений. Сначала из алгебраического уравнения (10) можно определить зависимость

, (12)

Затем подставить эту зависимость в выражения и , имеющиеся для заданной нелинейности. Тогда получатся новые выражения и графики для и , включающие зависимость (12). В результате уравнение (11) приводится к виду

, (13)

Методика решения задачи по определению и остается прежней, но с новыми выражениями и графи­ками для и .

Замечание. Определение функции (12) упрощается в двух случаях, а именно

<1> при несимметричной нелинейности и без внешнего воздействия вместо (10) имеем

<2> при наличии нулевого полюса в передаточной функции линейной части , вместо (10) в общем случае получаем , а без внешнего воздействия, при несимметричной нелинейности .

Определение из уравнения (11) периодической составляющей , т.е. значений и , упрощается в случае однозначной нечетной симметричной нелинейности . В этом случае, согласно (11) характеристическое уравнение получает вид

, (14)

а после подстановки придем к уравнениям

,

.

Из этих уравнений (аналогично тому как это было сделано для симметричных автоколебаний) получаем

, (15)

где относится к симметричным автоколебаниям в той же системе.

Сделав подстановку (12), будем иметь уравнение

, (16)

где – новое выражение или график, учитывающий зависимость (12).

Таким образом, при однозначной нелинейности частота , несимметричных автоколебаний остается такой же, как и при симметричных колебаниях, независимо от величины смещения . Амплитуда же несимметричных колебаний , определим из уравнения (15), зависит от смещения и выражается через амплитуду симметричных автоколебаний . Здесь требуется решать уравнение (11).