Применение критерия Гурвица для исследования устойчивости периодического решения.

Пусть характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет вид

,

где коэффициенты зависят от амплитуды и частоты . Пусть определены параметры периодических решений и . Выбираем значение и даем приращение амплитуде периодического решения .

Критерий устойчивости периодического решения, основанный на применении критерия Гурвица заключается в том, чтобы при характеристическое уравнение системы (1) удовлетворяло критерию Гурвица, а при удовлетворялись бы все условия Гурвица, кроме одного .

Напомним, что при т.е. для самого периодического решения . В аналитической форме этот критерий устойчивости периодического решения может быть представлен следующим образом.

Во-первых, необходимо, чтобы или

, (2)

где * - означает подстановку , соответствующая периодическому решению, устойчивость которого исследуется. При этом знак выражения (2) не должен меняться при малом отклонении в обе стороны от значения, которое соответствует исследуемому периодическому решению, если величина входит в коэффициенты гармонической линеаризации и .

Во-вторых. При значениях и , отвечающих исследуемому периодическому решению, должны быть положительными все остальные определители Гурвица за исключением определителя . Это условие эквивалентно тому, чтобы в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы все остальные корни {кроме исследуемой нами пары чисто мнимых} имели отрицательные вещественные части, т.е. чтобы многочлен удовлетворял критерию Гурвица.

Пример. Структурная схема системы автоматического управления представлена на рисунке

Определить параметры периодического решения. Исследовать устойчивость периодического решения.

Решение. Гармоническая линеаризация нелинейного звена дает следующие коэффициенты гармонической линеаризации

при и .

Гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы имеет вид

. (1)

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной замкнутой системы имеет вид

. (2)

Обозначим: , , , .

Составим матрицу Гурвица

.

Выпишем предпоследний определитель матрицы Гурвица

.

Условие равенства нулю дает или . Откуда получаем

. (3)

Второе условие для определения параметров периодического решения получим, если в уравнении (2) положить и выделить мнимую часть, приравняв ее нулю

. (4)

Из уравнения (4) получаем

, . (5)

Равенство (5) определяет значение частоты периодического решения. Решение уравнения (3) определяет амплитуды периодических решений. Его можно решить графически так, как показано на рисунке.

Из рисунка видно, что уравнение (3) имеет два решения и .

Критерий устойчивости. Первое условие или

,

,

,

следовательно, и критерий устойчивости не выполняется. Таким образом, периодическое решение неустойчиво – это не автоколебания.

,

следовательно .

Для проверим выполнение второго условия критерия устойчивости. Полином должен иметь все корни с отрицательными действительными частями. Для того чтобы претворить это условие разделим полином (3) на .

.

С учетом равенств (3) и (5) легко убедиться, что остаток равен нулю. В результате деления имеем

,

– корень отрицательный.

Следовательно, второе условие критерия устойчивости выполнено.

Вывод. Периодическое решение с параметрами устойчиво, а это значит, что в системе есть автоколебания с амплитудой и частотой .