
- •Содержание
- •Глоссарий
- •2. Конспект лекционных занятий лекция 1. Введение. Математические модели нелинейных элементов систем автоматического управления
- •Требования, предъявляемые к математическим моделям систем автоматического управления.
- •Математические модели нелинейных элементов систем автоматического управления.
- •Характеристика с насыщением (ограничение).
- •2. Реле с зоной нечувствительности.
- •3. Реле с гистерезисом.
- •4. Нелинейное звено типа "Люфт".
- •5. Нелинейное звено типа "Вязкое трение".
- •6. Нелинейное звено типа "Сухое трение".
- •Лекция 2. Основные особенности нелинейных систем автоматического управления
- •Основные методы исследования нелинейных систем:
- •Понятие о методе фазовой плоскости исследования нелинейных систем.
- •Лекция 3. Типы особых точек и фазовые портреты линейных систем второго порядка.
- •Лекция 4. Способы построения фазовых портретов нелинейных систем по уравнениям первого приближения.
- •Случай 1. Корни характеристического уравнения – чисто мнимые (Центр).
- •Корни характеристического уравнения
- •Случай 2. Корни характеристического уравнения – комплексно-сопряженные (фокус)
- •Случай 4 Корни характеристического уравнения действительны и разных знаков (седло)
- •Решение уравнения (1) аналогично предыдущему случаю имеет вид
- •Случай 5 Корни характеристического уравнения равны кратные (вырожденный узел ). Рассмотрим систему
- •Матрица динамики системы
- •Лекция 5. Линеаризация уравнений систем автоматического управления. Уравнения первого приближения.
- •Так как в особой точке справедливо и , то окончательно получаем
- •Фазовые траектории нелинейных систем автоматического управления.
- •Лекция 6. Построение фазовых портретов нелинейных систем управления по уравнениям первого приближения.
- •Лекция 7. Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Реле с гистерезисом и зоной нечувствительности.
- •Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Реле с гистерезисом.
- •Лекция 8. Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Скользящие процессы в релейных системах.
- •Вывод 3. Уравнение движения системы вдоль линии переключения
- •Процессы в релейных системах со скользящим режимом.
- •Лекция 9. Основы исследования систем автоматического управления методом гармонической линеаризации
- •Математическая модель исследуемой системы автоматического управления.
- •II. В системе возникли автоколебания.
- •Математическая основа метода гармонической линеаризации.
- •Свойство фильтра линейной части системы.
- •Коэффициенты гармонической линеаризации.
- •VI. Гармонически линеаризованное нелинейное звено.
- •Исследования автоколебаний в нелинейных системах методом гармонической линеаризации.
- •Лекция 10. Методы определения амплитуды и частоты автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления
- •Исходные положения.
- •Линейная часть системы управления обладает свойством фильтра, т.Е. , , следовательно, переменную можно представить в виде , .
- •Лекция 11. Алгебраический метод определения параметров периодических решений нелинейных систем.
- •Частотные методы определения параметров периодических решений.
- •Лекция 12. Устойчивость периодического решения
- •Применение критерия Михайлова для исследования устойчивости периодического решения.
- •Аналитическая форма критерия устойчивости периодического решения.
- •Применение критерия Гурвица для исследования устойчивости периодического решения.
- •Решение. Гармоническая линеаризация нелинейного звена дает следующие коэффициенты гармонической линеаризации
- •Несимметричные автоколебания. Постоянные ошибки
- •Выделим отсюда уравнение для постоянных составляющей
- •Лекция 13. Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости, функции ляпунова.
- •Теоремы Ляпунова.
- •Лекция 14. Устойчивость нелинейных управляемых систем. Критерий в.-м. Попова.
- •Интерпретация функции .
- •Видоизмененная частотная характеристика.
- •Способ построения диаграмм качества.
- •Лабораторная работа № 1 Моделирование систем управления в пакете Simulink
- •Описание системы
- •Инструкция по выполнению работы
- •Контрольные вопросы к защите
- •Лабораторная работа № 2 Моделирование нелинейных систем управления Цели работы
- •Задачи работы
- •Оформление отчета
- •Описание системы
- •Инструкция по выполнению работы
- •Контрольные вопросы к защите
- •Лабораторная работа № 3 Программирование в среде Matlab Цели работы
- •Задачи работы
- •Оформление отчета
- •Описание системы
- •Инструкция по выполнению работы
- •Контрольные вопросы к защите
- •Лабораторная работа № 4 Оптимизация нелинейных систем Цели работы
- •Задачи работы
- •Оформление отчета
- •Описание системы
- •Инструкция по выполнению работы
- •Контрольные вопросы к защите
- •Лабораторная работа № 7 Цифровая реализация непрерывного регулятора Цели работы
- •Задачи работы
- •Оформление отчета
- •Описание системы
- •Инструкция по выполнению работы
- •Контрольные вопросы к защите
- •4. Практические занятия Практическое занятие 1. Разработка алгоритма исследования линейных систем автоматического управления методом фазовой плоскости.
- •Пример. Структурная схема системы автоматического управления имеет вид, показанный на рисунке
- •Влияние параметров системы управления на тип особой точки. Бифуркация.
- •Пример. Установить типы особых точек нелинейной системы
- •Решение. Определим координаты особых точек
- •Пример. Структурная схема системы автоматического управления имеет вид, показанный на рисунке
- •Решение. В соответствии с выше принятыми обозначениями
- •Самостоятельная работа студентов под руководством преподавателей (срсп). Срсп №1
- •Задание
- •Указания к выполнению
- •Задание к срсп №3 Тема: Дискретизация и наложение спектров (aliasing)
- •Задание к срсп №4 Тема: Восстановление дискретизированных Сигналов
- •Задание к срсп №5 Тема: Дуобинарное упражнение
- •Самостоятельная работа студентов
- •7. Экзаменационные вопросы
- •Понятие о методе фазовой плоскости исследования нелинейных систем.
- •Коэффициенты гармонической линеаризации.
- •Список рекомендуемой литературы Основная литература:
Лекция 12. Устойчивость периодического решения
Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления
.
(1)
Пусть
найдены все значения
,
которые соответствуют периодическим
решениям. Для того чтобы определить
соответствует ли найденное периодическое
решение автоколебаниям в нелинейных
системах управления, нужно исследовать
их на устойчивость. При практических
расчетах исследование устойчивости
периодического решения проводится
гармонически линеаризованной системы
используя критерии устойчивости,
разработанные для линейных систем
управления.
Применение критерия Михайлова для исследования устойчивости периодического решения.
Уравнение для построения кривой Михайлова получаем из характеристического уравнения (1) путем подстановки в него , т.е.
Выделим в последнем равенстве действительную и мнимую части
.
(2)
Известно,
что для случая периодического решения,
т.е. при наличии пары чисто мнимых корней
в характеристическом уравнении, кривая
Михайлова проходит через начало
координат, причем в точке кривой
совпадающей с началом координат, параметр
равняется абсолютной величине мнимого
корня
– частоте периодического решения.
Дадим
малое отклонение амплитуды
.
Вследствие чего изменятся коэффициенты
в равенстве (2) и кривая Михайлова
отклонится от начала координат в ту или
другую сторону. Если кривая Михайлова
займет положение (1) (см. рисунок), то, как
известно из линейной теории управления,
в системе будут затухающие колебательные
процессы. Если кривая Михайлова займет
положение (2) (см. рисунок), то как, известно
из линейной теории управления, в
исследуемой системе будут иметь место
расходящиеся процессы – система
неустойчива.
Вывод.
Для устойчивости периодического решения,
т.е. для возможности существования
автоколебаний, требуется, чтобы при
критерий Михайлова удовлетворялся, а
при
не удовлетворялся.
Аналитическая форма критерия устойчивости периодического решения.
Перемещение
точки
кривой Михайлова (2) при малом изменении
можно характеризовать вектором
с проекциями
,
. (3)
Перемещение
точки вдоль кривой Михайлова определяется
вектором
с проекциями
,
. (4)
В
обеих случаях звездочка соответствует
подстановке конкретных значений
и
исследуемого периодического решения
в частные производные от выражений
и
входящие в равенство (2). Эта подстановка
соответствует начальному положению
точки
.
Пользуясь правами векторной алгебры, определим угол между векторами и
.
(5)
Из
рисунка видно, что если взять
,
то для выполнения условия устойчивости
периодического решения требуется, чтобы
вектор
был отклонен от вектора
против
часовой стрелки при
и по часовой стрелке при
.
Отсюда, согласно (5) следует
.
Поскольку
величины
и
положительны (как длины векторов), то
после подстановки (3) и (4), получим, что
для устойчивости периодического решения
требуется
<1> во - первых выполнение условия
.
(6)
При
этом производные
и
по
,
входящая в неравенство (6) удобно вычислять
в виде
.
(7)
<2> во - вторых, кроме выполнения условия (6) требуется, чтобы весь ход остальной части кривой Михайлова (за исключением одной точки в начале координат) как показано на рисунке, удовлетворял критерию Михайлова. Последнее условие надо специально проверять только для систем пятого порядка и выше. Для системы третьего и четвертого порядков это условие сводится к простому требованию положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Это соответствует тому, что в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы все остальные корни (кроме исследуемой нами пары чисто мнимых корней) имели отрицательные вещественные части, т.е. чтобы многочлен
удовлетворял критерию Михайлова.