Частотные методы определения параметров периодических решений.

Пусть структурная схема гармонически линеаризованной системы имеет вид:

Составим уравнения гармонически линеаризованной системы управления при .

. (1)

Из системы уравнений (1) получаем

, (2)

где – передаточная функция линейной части системы

, (3)

– передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного звена

. (4)

Обозначим через

(5)

передаточную функцию разомкнутой цепи гармонически линеаризованной системы. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи гармонически линеаризованной системы

. (6)

Периодическое решение гармонически линеаризованной системы получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней. Система находится на границе устойчивости. По критерию Найквиста это соответствует прохождению амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой цепи гармонически линеаризованной системы через точку с координатами . Следовательно, периодическое решение определяется равенством

, (7)

Из равенства (7) получаем

. (8)

Уравнение (8) определяет искомые значения амплитуды и частоты периодического решения. Уравнение (8) можно решить графическим способом следующим образом.

1. На комплексной плоскости строится амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части .

2. На комплексной плоскости строится амплитудно-фазовая характеристика гармонически линеаризованного звена с передаточной функцией .

3. Точка пересечения построенных графиков определяет величины и . При этом значение отсчитывается по кривой , а значение – по кривой .

Вместо уравнения (8) можно воспользоваться двумя скалярными уравнениями

, (9)

, (10)

Совместное решение системы уравнений (9) и (10) определяют численные значения искомых параметров периодических решений . Последними двумя уравнениями для определения периодического решения графическим способом целесообразно использовать построение в логарифмическом масштабе, привлекая логарифмически частотные характеристики линейной части. Тогда вместо (9) и (10) будем иметь следующие два уравнения

, (11)

, (12)

Замечание. Уравнение –это равенство двух комплексных чисел. Два комплексных числа равны, если равны их модули и аргументы.

Это значит, что уравнение (8) и система уравнений (9), (10) эквивалентны, т.е. равенство (8) эквивалентно двум действительным равенствам (9) и (10) или, что тоже самое равенствам (11) и (12).

.

Последовательность действий при графическом способе решения системы уравнений (11), (12)

1. Строится логарифмическая амплитудно частотная характеристика линейной части исследуемой системы .

2. Строится фазочастотная характеристика линейной части исследуемой системы .

3.Строится график функции , амплитуда – берется в натуральном масштабе.

4. Строится график функции .

5. Построение кривой .

Нахождение периодического решения в случае однозначной нечетной нелинейности упрощается. В этом случае и уравнения (11) и (12) принимают вид

, (13)

. (14)

Графическое решение показано на рисунке