2.2. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ (2.1). Его общим решением является функция (2.3), т. е.
.
Частное решение у* уравнения (2.1)
можно найти, если известно обще решение
соответствующего однородного уравнения
(2.2), методом вариации произвольных
постоянных (метод Лагранжа), состоящим
в следующем.
Пусть 
- общее решение уравнения (2.2).
Заменим в общем решении постоянные
и
неизвестными функциями
и
и подберем их так, чтобы функция
(2.6)
была решением уравнения (2.1). Найдем производную
.
Подберем функции
и
так, чтобы
. (2.7)
Тогда
,
.
Подставляя выражение для
,
и
в уравнение (2.1), получим:
,
или
.
Поскольку
и
решения уравнения (2.2), то выражения в
квадратных скобках равны нулю, а потому
. (2.8)
Таким образом, функция (2.6) будет частным решением у* уравнения (2.1), если функции и удовлетворяют системе уравнений (2.7) и (2.8):
,
. (2.9)
Определитель системы 
,
так как это определитель Вронского для
фундаментальной системы частных решений
и
уравнения (2.2). Поэтому система (2.9)
имеет единственное решение:
и 
,
где
и
некоторые функции от х.
Интегрируя эти функции, находим
и
,
а затем по формуле (2.6) составляем
частное решение уравнения (2.1).
Пример 2.1. Найти общее решение
уравнения
.
Решение: Найдем общее решение
соответствующего однородного уравнения
у" + у = 0. Имеем:
,
,
.
Следовательно,
.
Найдем теперь частное решение у*
исходного уравнения.
Оно ищется в виде (2.6):
.
Для нахождения
и
составляем систему уравнений вида
(2.9):
,
.
Решаем её:
,
,
;
, 
;
, 
.
Запишем частное решение данного
уравнения: у* =
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения имеет вид
.
При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.
Теорема 2.2 (о наложении решений). Если
правая часть уравнения (2.1) представляет
собой сумму двух функций:
,
а
и
- частные решения уравнений
и
соответственно, то функция
является решением данного уравнения.
Действительно,
=
.
2.3. Интегрирование лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение
,
(2.10)
где р и q — некоторые числа.
Согласно теореме 2.1, общее решение уравнения (2.10) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (2.10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (п. 2.2).
Для уравнений с постоянными коэффициентами (2.10) существует более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) уравнения (2.10) имеет так называемый «специальный вид»:
I.
или
II.
.
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (2.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (2.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
Случай 1. Правая часть (2.10) имеет вид
,
где
,
- многочлен степени п.
Уравнение (2.10) запишется в виде
. (2.11)
В этом случае частное решение у* ищем в виде:
, (2.12)
где
- число, равное кратности а как
корня характеристического уравнения
k2 +pk
+ q = 0 (т. е.
- число, показывающее, сколько раз а
является корнем уравнения к2
+ рк + q = 0), a
- многочлен степени п,
записанный с неопределенными коэффициентами
(i=1,2,…,
n).
а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения
k2 +pk + q = 0,
т. е.
.
Следовательно,
,
,
,
.
После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (2.11), сокращения на еах, получим:
. (2.13)
Слева — многочлен степени п
с неопределенными коэффициентами,
справа - многочлен степени п,
но с известными коэффициентами.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получим систему (п
+ 1) алгебраических уравнений для
определения коэффициентов
.
б) Пусть а является однократным
(простым) корнем характеристического
уравнения k2
+pk + q
= 0, т. е.
.
В этом случае искать решение в форме
нельзя, т. к. а2 + pa
+ q = 0, и уравнение
(2.13) принимает вид
.
В левой части - многочлен степени (п
- 1), в правой части - многочлен
степени п.
Чтобы получить тождество многочленов
в решении у*, нужно иметь многочлен
степени (п + 1). Поэтому частное решение
у* следует искать в виде
(в равенстве (2.12) положить
).
в) Пусть а является двукратным
корнем характеристического уравнения
k2 +pk
+ q = 0, т. е.
.
В этом случае а2 + pa
+ q = 0 и 2а + р
= 0, а поэтому уравнение (5.13) принимает
вид
.
Слева стоит многочлен степени (п – 2). Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде
,
- в равенстве (2.12) положить
.
Случай 2. Правая часть (2.10) имеет вид
,
где Рп(х) и Qm(x) - многочлены степени п и т соответственно,
а и
- действительные числа. Уравнение
(2.10) запишется в виде
. (2.14)
Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (2.14) следует искать в виде
(2.15)
где
число, равное кратности
как корня характеристического уравнения
k2 +pk
+ q = 0,
и
- многочлены степени l
с неопределенными коэффициентами, l
наивысшая степень многочленов Рп(х)
и Qm(x),
т.е. l = max(n,m).
Замечания.
1. После подстановки функции (2.15) в (2.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.
2. Форма (2.15) сохраняется и в случаях,
когда
или
.
2. Если правая часть уравнения (2.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 2.2 о наложении решений.
Пример 2.2. Найти общее решение уравнения у" - 2у' + у = х - 4.
Решение: Найдем общее решение
ЛОДУ у" — 2у' + у = 0.
Характеристическое уравнение k2
– 2k + 1 = 0 имеет
корень k1=1
кратности 2. Значит,
.
Находим частное решение исходного
уравнения. В нем правая часть х -
4 = (х - 4)·е0х есть
формула вида
,
причем а = 0, не является корнем
характеристического уравнения:
.
Поэтому, согласно формуле (2.12), частное
решение у* ищем в виде
,
т. е.
,
где А и В — неопределенные
коэффициенты. Тогда (у*)' = А, (у*)"
= 0. Подставив у*, (у*)', (у*)"
в исходное уравнение, получим:
,
или
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
,
.
Отсюда А = 1, В = - 2. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид у* = х - 2.
Следовательно, искомое общее решение уравнения имеет вид:
.
Пример 2.3. Решить уравнение у" - 4у' + 13у = 40·cosЗх;.
Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид
.
Находим решение однородного уравнения
:
у"-4у'+13у=0. Характеристическое
уравнение к2 - 4к + 13 =
0 имеет корни
,
.
Следовательно,
.
Находим частное решение у*. Правая
часть ЛНДУ в нашем случае имеет вид
.
Так как
,
,
,
- не совпадает с корнем характеристического
уравнения, то
.
Согласно формуле (2.15), частное решение
ищем в виде:
.
Подставляем у* в исходное уравнение.
Имеем:
,
.
Получаем:
,
или
.
О тсюда имеем:
,
.
Следовательно, А = 1, В = -3. Поэтому у* = cos3x - 3·sin3x. И наконец,
- общее решение уравнения.
Пример 2.4. (Для самостоятельного решения.) Для предложенных дифференциальных уравнений получить вид частного решения:
а) у"-3у' + 2у = 5 + ех;
б) у" - 2у' + у = 2;
в) у" + 4у = sin 2х + cos 7x;
г) у" + у = 5·cos2x - х·sin2x;
д) у" - 3 у' = х2 - 1 + cosx.
Ответы: а) А+х·В·ех; б) А; в) x·(A·cos2x + B·sin2x) + C·cos7х + D·sin7х;
г) (А·х + В)·cos2х + (С·х + D) ·sin 2х; д) х·(А·х2 + В·х + С) + D·cosх + Е·sinх.
2.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го (n > 2) порядка
,
где
- заданные непрерывные функции на
.
Соответствующее ему однородное
уравнение имеет вид
.
Теорема 2.3 (о структуре общего решения
ЛНДУ n
-го порядка). Общее решение у
ЛНДУ n
-го порядка равно сумме частного решения
у* неоднородного уравнения и общего
решения
соответствующего ему однородного
уравнения, т. е.
Частное решение у* ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если известно общее решение однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде
,
где
,
(i=1,2,…,n)
- частные решения однородного
уравнения, образующие фундаментальную
систему.
Система уравнений для нахождения
неизвестных
имеет вид
,
,
,
…………………………………………………
.
Однако для ЛНДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
Метод подбора частного решения у* уравнения
,
где pi - числа, а правая часть f(x) имеет специальный вид, описанный в п. 2.3 для случая n = 2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок n > 2.
Пример 2.5. Решить уравнение yIV - у' = 2х.
Решение: Находим
:
,
,
,
,
,
.
Находим
:
,
,
.
Отсюда:
,
,
,
.
Тогда:
.
Отсюда
,
и получаем:
.
Следовательно, функция:
является общим решением уравнения.