9.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть, например, требуется решить уравнение

у" = f(x;y;y'), (9.2)

удовлетворяющее начальным условиям

, . (9.3)

Способ последовательного дифференцирования

Решение у = у(х) уравнения (9.2) ищем в виде ряда Тейлора:

, (9.4)

при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (9.3). Подставив в уравнение (9.2) значения , , , находим третий коэффициент: . Значения , ,..... находим путем последовательного дифференцирования уравнения (9.2) по и вычисления производных при . Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (9.4). Ряд (9.4) представляет искомое частное решение уравнения (9.2) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (9.2).

Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (9.2), если и рассматривать как произвольные постоянные.

Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пример 9.4. Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения

, при начальных условиях: , .

Решение: Будем искать решение уравнения в виде

.

Здесь , . Находим у"(-1), подставив х = - 1 в исходное уравнение: у"(-1) = (-1)² + 2² = 5. Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:

,

,

,...

……………………….

При х = - 1 имеем:

,

,

,...

……………………….

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:

Способ неопределенных коэффициентов

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение

(9.5)

с начальными условиями , .

Предполагая, что коэффициенты , и свободный член f(x) разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале , искомое решение ищем в виде степенного ряда

(9.6)

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты и определяются при помощи начальных условий , .

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (9.6) два раза (таков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции и ее производных в уравнение (9.5), заменив в нем , , f(x) их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (9.6) сходится в том же интервале и служит решением уравнения (9.5).

Пример 9.5. Найти решение уравнения

, , ,

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

, ,

.

Ищем решение уравнения в виде ряда

Тогда

,

.

Из начальных условий находим: , . Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

,

,

,

,

,

…………………………….

Отсюда находим, что , , , ,….

Таким образом, получаем решение уравнения в виде

,

т.е. .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Евстигнеев Ю.Ф., Матвеева О.П. Основы математического анализа: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006. – 116с.

2. Евстигнеев Ю.Ф. и др. Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Математический анализ» для студентов 1 курса заочного отделения Бакалавриат – Экономика Часть 1. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2012. – 40с.

3. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1/9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288с.: ил.

4. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 2/6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 256с.: ил.

5. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/ под ред. В.И.Ермакова.-М.:ИНФРА-М, 2000.-656с.- ил.

6. Сборник задач по высшей математики для экономистов: Учебное пособие/ под ред. В.И.Ермакова.-М.:ИНФРА-М, 2002.-575с.-ил.

7. Шипачёв В.С. Высшая математика.Учеб.для вузов.-4-е изд., стер.-М.: Высш.школа. 1998.- 479с.:ил.