8.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

Для разложения функции в ряд Маклорена (8.3) нужно:

а) найти производные ;

б) вычислить значения производных в точке ;

в) написать ряд (8.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремиться к нулю при .

Приведём таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

, , (8.4)

, , (8.5)

, , (8.6)

,

(8.7)

, , (8.8)

, , (8.9)

, , (8.10)

, (8.11)

, (8.12)

, , (8.13)

, . (8.14)

Докажем формулу (8.4). Пусть .

Имеем:

а) , , ,…., ,…….;

б) , , ,….., ;

в) ; ,

т.е. ряд сходится в интервале ;

г) для всех имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме 8.2 . Таким образом, .

Докажем формулу (8.5). Пусть .

Имеем:

а) , , ,

…., ,………….;

б)

в) . Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех ;

г) любая производная функции по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, по теореме (8.2) имеет место разложение (8.5).

Докажем формулу (8.6). Пусть .

Формулу (8.6) можно доказать также, как и формулу (8.5). Однако проще получить разложение функции , воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (8.5), получим:

, .

Докажем формулы (8.13) и (8.14). Пусть (или ).

Заменив в формуле (8.4) на , получим разложение функции :

, (8.15)

справедливое для всех .

Суммируя и вычитая почленно равенства (8.4) и (8.15), получим разложение гиперболического косинуса (синуса):

, ,

, .

Формулы (8.13) и (8.14) доказаны.

Докажем формулу (8.7). Пусть , где .

Имеем:

а) , , ….,

, …., ;

б) , , ,….., ,….;

в) ;

г) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале .

Можно показать, что и в данном случае, т.е. при , остаточный член R_n(x) стремится к нулю при .

Ряд (8.7) называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (n + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд (8.7) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

.

Докажем формулу (8.8). Пусть .

Формула (8.8) может быть получена разными способами:

1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2) рассматривая ряд как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель q = х; известно (см. пример 7.1), что данный ряд сходится при и его сумма равна ;

3) воспользовавшись формулой (8.7): положив в ней и заменив х на - х, получим формулу (8.8).

Докажем формулу (8.9). Пусть .

Формула (8.9) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.

Рассмотрим равенство

,

справедливое для всех . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0; x], :

,

или

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1.

Докажем формулу (8.10). Пусть .

Положив в формуле (8.7) и заменив х на х², получим равенство

, .

Тогда:

,

или

Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех .

Докажем формулу (8.12). Пусть .

Положив в формуле (8.7) и заменив х на (-х²), получим равенство

, .

Тогда

,

или

Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех .

Ряды (8.4)-(8.14) в комбинации с правилами сложения, вычитания, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы также при разложении некоторых других функций в ряд Маклорена (Тейлора).

Пример 8.1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Так как , то, заменяя на в разложении (8.4), получим:

, .

Пример 8.2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение: Так как

,

то, воспользовавшись формулой (8.9), в которой заменим на , получим:

,

или ,

если , т.е. .

Пример 8.3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение: Воспользуемся формулой (8.8). Так как

,

то, заменив на в формуле (8.8), получим:

,

или

,

где , т.е. .