7.4. Свойства степенных рядов
Сформулируем без доказательств основные свойства степенных рядов.
1. Сумма
степенного ряда (7.3) является непрерывной
функцией в интервале сходимости
.
2. Степенные ряды
и
,
имеющие радиусы сходимости соответственно
и
,
можно почленно складывать, вычитать и
умножать. Радиус сходимости произведения,
суммы и разности рядов не меньше, чем
меньшее из чисел
и
.
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда
(7.7)
при
выполняется равенство
(7.8)
4. Степенной ряд можно почленно
интегрировать на каждом отрезке,
расположенном внутри интервала
сходимости; при этом для ряда (7.7) при
выполняется равенство:
(7.9)
Ряды (7.8) и (7.9) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.
Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для степенных рядов вида (7.4).
Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближённых вычислениях.
8. Разложение функций в степенные ряды
8.1. Ряды Тейлора и Маклорена.
Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.
В математике доказано ([3] теорема 26.1),
что для любой функции
,
определённой в окрестности точки
и имеющей в ней производные до
-го
порядка включительно, справедлива
фомула Тейлора:
,
(8.1)
где
,
- остаточный член в форме Лагранжа.
Число
можно записать в виде
,
где
.
Формулу (8.1) кратко можно записать в
виде:
,
где
- многочлен Тейлора.
Если функция
имеет производные любых порядков (т.е.
бесконечно дифференцируема) в окрестностях
точки
и остаточный член
стремится к нулю при
,
то из формулы Тейлора получается
разложение функции
по степеням
,
называемое рядом Тейлора:
(8.2)
Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:
.
(8.3)
Отметим, что ряд Тейлора можно формально
построить для любой бесконечно
дифференцируемой функции (это необходимое
условие) в окрестностях точки
.
Но отсюда ещё не следует, что он будет
сходиться к данной функции
;
он может оказаться расходящимся или
сходиться, но не к функции
.
Так, например, функция
имеет в точке
производные всех порядков, причём
при всяком
(см. [3], пример 19.5). Ряд Маклорена имеет
вид:
Он сходится, но его сумма
в любой точке
равна нулю, а не
.
Пусть для функции составлен соответствующий ей ряд Тейлора.
Теорема 8.1. Для того чтобы ряд Тейлора
(8.2) функции
сходился к
в точке
,
необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке остаточный член формулы Тейлора
(8.1) стремился к нулю при
,
т.е. чтобы
.
Пусть ряд Тейлора (8.2) сходится к
функции
в некоторой окрестности точки
,
т.е.
.
Так как
-я
частичная сумма
ряда (8.2) совпадает с многочленом
Тейлора
,
т.е.
,
находим:
.
Обратно, пусть . тогда
.
Замечание. Если ряд Тейлора (8.2)
сходится к порождающей функции
,
то остаточный член формулы Тейлора
равен остатку ряда Тейлора, т.е.
.
(Напомним, что
,
а
,
где
- сумма ряда Тейлора).
Таким образом, задача разложения
функции
в степенной ряд сведена по существу к
определению значений
,
при которых
(при
).
Если сделать это не просто, то следует
каким-нибудь способом убедиться, что
написанный ряд Тейлора сходится к данной
функции.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая даёт простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 8.2. Если модули всех
производных
ограничены в окрестности точки
одним и тем же числом
,
то для любого
из этой окрестности ряд Тейлора функции
сходится к функции
,
т.е. имеет место разложение (8.2).
Согласно теореме (8.1), достаточно
показать, что
.
По условию теоремы (8.2) для любого
имеет место неравенство
.
Тогда имеем:
.
Осталось показать, что
.
Для этого рассмотрим ряд
.
Так как
,
то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,
.
Следовательно, .