6.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Так, ряд, показанный в примере (6.2), условно сходящийся. Ряд

абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов, сходится (см. пример 5.4).

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без доказательства.

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S₁ и S₂ можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S₁+S₂ (или соответственно S₁-S₂).

3. Под произведением двух рядов и понимают ряд вида

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S₁ и S₂ есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S₁·S₂.

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.

Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится. Например, ряд условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна S. Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд

.

Сумма уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана).

Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

7. Степенные ряды

7.1. Функциональные ряды. Основные понятия

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:

(7.1)

Придавая х определенное значение х₀, мы получим числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости ряда (7.1); если же ряд расходится - точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости равенством

,

где - частичная сумма ряда.

Пример 7.1. Найти область сходимости ряда .

Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна :

, при .

Пример 7.2. Исследовать сходимость функционального ряда

.

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

(7.2)

Так как при любом имеет место соотношение , а ряд с общим членом сходится (обобщенный гармонический ряд, p = 2 > 1, см. п. 5.4), то по признаку сравнения ряд (7.2) сходится при .

Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех .

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:

(7.3)

Действительные (или комплексные) числа - называются коэффициентами ряда (7.3), - действительная переменная.

Ряд (7.3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т.е. ряд вида

, (7.4)

где х₀ - некоторое постоянное число.

Ряд (7.4) легко приводится к виду (7.3), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (7.3).