Схема Ель-Гамаля

План:

Введення

• 1 Генерація ключів

• 2 Робота в режимі шифрування

  • 2.1 Шифрування

  • 2.2 Розшифрування

  • 2.3 Схема шифрування

  • 2.4 Приклад

• 3 Робота в режимі підпису

  • 3.1 Підпис повідомлень

  • 3.2 Перевірка підпису

  • 3.3 Приклад

• 4 Криптостійкість і особливості Примітки

Введення

Схема Ель-Гамаля (Elgamal) - криптосистема з відкритим ключем, заснована на труднощі обчислення дискретних логарифмів в кінцевому полі. Криптосистема включає в себе алгоритм шифрування і алгоритм цифрового підпису. Схема Ель-Гамаля лежить в основі стандартів електронного цифрового підпису в США ( DSA) і Росії ( ГОСТ Р 34.10-94).

Схема була запропонована Тахер Ель-Гамалем в 1984. [1] Ель-Гамаль розробив один із варіантів алгоритму Діффі-Хеллмана. Він удосконалив систему Діффі-Хеллмана і отримав два алгоритми, які використовувалися для шифрування і для забезпечення аутентифікації. На відміну від RSA алгоритм Ель-Гамаля не був запатентований і, тому, став більш дешевою альтернативою, оскільки не вимагалася оплата внесків за ліцензію. Вважається, що алгоритм потрапляє під дію патенту Діффі-Хеллмана.

1. Генерація ключів

1. Генерується випадкове просте число довжини бітів.

2. Вибирається випадкове ціле число таке, що .

3. Вибирається випадкове ціле число таке, що .

4. Обчислюється .

5. Відкритим ключем є трійка , Закритим ключем - число .

2. Робота в режимі шифрування

Шіфрсістема Ель-Гамаля є фактично одним із способів вироблення відкритих ключів Діффі - Хеллмана. Шифрування за схемою Ель-Гамаля не слід плутати з алгоритмом цифрового підпису за схемою Ель-Гамаля.

2.1. Шифрування

Повідомлення шифрується таким чином:

1. Вибирається сесійний ключ - випадкове ціле число таке, що

2. Обчислюються числа і .

3. Пара чисел є шіфротекста.

Неважко бачити, що довжина шіфротекста в схемі Ель-Гамаля довше вихідного повідомлення вдвічі.

2.2. Розшифрування

Знаючи закритий ключ , Вихідне повідомлення можна обчислити з шіфротекста за формулою:

При цьому неважко перевірити, що

і тому

.

Для практичних обчислень більше підходить наступна формула:

2.3. Схема шифрування

2.4. Приклад

• Шифрування

  1. Припустимо що потрібно зашифрувати повідомлення .

  2. Зробимо генерацію ключів:

     1. нехай . Виберемо - Випадкове ціле число таке, що .

     2. Обчислимо .

     3. Отже, відкритим є трійка , А закритим ключем є число .

  3. Вибираємо випадкове ціле число таке, що 1 .

  4. Обчислюємо число .

  5. Обчислюємо число .

  6. Отримана пара є шіфротекста.

• Розшифрування

  1. Необхідно отримати повідомлення за відомим шіфротекста і закритому ключу .

  2. Обчислюємо M за формулою:

  3. Отримали вихідне повідомлення .

---

Так як в схему Ель-Гамаля вводиться випадкова величина , То шифр Ель-Гамаля можна назвати шифром багатозначної заміни. Через випадковості вибору числа таку схему ще називають схемою імовірнісного шифрування. Імовірнісний характер шифрування є перевагою для схеми Ель-Гамаля, так як у схем імовірнісного шифрування спостерігається більша стійкість в порівнянні зі схемами з певним процесом шифрування. Недоліком схеми шифрування Ель-Гамаля є подвоєння довжини зашифрованого тексту в порівнянні з початковим текстом. Для схеми імовірнісного шифрування саме повідомлення і ключ не визначають шіфротекст однозначно. У схемі Ель-Гамаля необхідно використовувати різні значення випадкової величини для шифровки різних повідомлень і . Якщо використовувати однакові , То для відповідних шіфротектов і виконується співвідношення . З цього виразу можна легко обчислити , Якщо відомо .

3. Робота в режимі підпису

Цифровий підпис служить для того щоб можна було встановити зміни даних і щоб установити дійсність підписаного сторонами. Одержувач підписаного повідомлення може використовувати цифровий підпис для доказу третій стороні того, що підпис дійсно зроблена отправляющей стороною. При роботі в режимі підпису передбачається наявність фіксованої хеш-функції , значення якої лежать в інтервалі .

3.1. Підпис повідомлень

Для підпису повідомлення виконуються наступні операції:

1. Обчислюється дайджест повідомлення :

2. Вибирається випадкове число взаємно просте з і обчислюється

3. Обчислюється число .

4. Підписом повідомлення є пара .

3.2. Перевірка підпису

Знаючи відкритий ключ , Підпис повідомлення перевіряється наступним чином:

1. Перевіряється здійснимість умов: і . Якщо хоча б одне з них не виконується, то підпис вважається невірною.

2. Обчислюється дайджест

3. Підпис вважається вірною, якщо виконується порівняння:

3.3. Приклад