Законы логики

Таблица 5.1. Основные законы логики

Закон	Для   ИЛИ	Для   И
Переместительный	X Y = Y X	X Y = Y X
Сочетательный	X (Y Z)=(X Y) Z	(X Y) Z = X (Y Z)
Распределительный	X (Y Z)=X Y X Z	X Y Z=(X Y) (X Z)
Правила де Моргана	¬ (X Y) = ¬ X ¬ Y	¬ ( X Y) = ¬ X ¬ Y
Идемпотенции	X X = X	X X = X
Поглощения	X X Y = X	X (X Y) = X
Операция   переменной с ее  отрицанием	¬X X = 1	¬ X X = 0
Операция с константами	X 0 = X,   X 1 = 1	X 1 = X,   X 0 = 0
Двойного отрицания	¬¬X = X

5.4. Логические задачи

При решении логических задач средствами алгебры логики используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введенных логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Решим следующие задачи:

Задача 5.1.

Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них автомобиль.

- Это английская машина марки «Феррари», — сказал Андрей.

- Нет, машина итальянская марки «Понтиак», — возразил Денис.

- Это «Сааб», и сделан он не в Англии, — сказал Марат.

Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предположений. Какой же марки этот автомобиль и в какой стране изготовлен? 

Решение

Решим эту задачу путем логических размышлений. Известно, что в каждом высказывании ребят верно только одно предположение, используем это.

Рассмотрим высказывание Андрея. Предположим, верно то, что машина английская, тогда машина не Феррари.

Из высказывания Дениса уже следует, что машина - «Понтиак». Однако получаем, что в высказывании Марата нет ни одного верного предположения. Получили противоречие условию задачи.

Вывод:

- в высказывании Андрея верно, что машина «Феррари»,

- в высказывании Дениса верно, что машина итальянская,

- в высказывании Марата верно то, что машина не английская.

Значит, машина итальянская и это «Феррари».

Ответ: машина «Феррари», изготовлена в Италии.

Задача 5.2.

Три свидетеля дали показания, что преступники скрылись с места преступления:     а) на черном “Бьюике”;     б) на синем “Форде”;     в) не на черном “Крайслере”.

Каждый из них в чем-то одном ошибался. На какой машине скрылись преступники?

Решение

Решим эту задачу путем логических размышлений. Известно, что в каждом высказывании верно только одно предположение, используем это. Предположим, что в первом высказывании верно второе предположение, т.е. преступники скрылись на “Бьюике”, но он не был черным, тогда из второго предположения следует, что машина синего цвета. В третьем предположении верно то, что машина не черная.

Вывод:       У преступников был синий “Бьюик”.

Ответ: на синем «Бьюике»

Задача 5.3. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:

а) «Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя».

б) «Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра».

в) «Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра».

Позже синоптик уточнил, что три его высказывания можно записать в виде одного. Сформулируйте высказывание синоптика.

Решение

Решим данную задачу с использованием логических законов. Введем следующие простые высказывания:

В – будет безветренно.

Д – будет дождь.

П – будет пасмурно.

Тогда высказывания синоптика можно записать в следующем в виде:

а) В→П Д ≡ B П Д

б) Д→ПВ≡ Д ПВ

в) П→ДВ≡ П ДВ

Объединив полученные в одно высказывание с помощью конъюнкции, получим:

F≡ ( B П Д) ( Д ПВ) ( П ДВ) ≡ ( B Д B ПВ П Д Д П Д ПВ)( П ДВ) ≡ ( B Д П Д) ( П ДВ) ≡ B Д П B Д ДВ П Д П П Д ДВ≡ B Д П

Ответ: Завтра будет ясный день без дождя, но с ветром.