11.12. Плоскі рівноважні суперелементов

Система диференціальних рівнянь рівноваги для плоскої задачі теорії пружності має вигляд (6.36) з матрицею пружних констант (6.42) або (6.47). Для побудови рівноважної аппроксимації в загальному випадку використовується метод невизначених коефіцієнтів. Для ізотропного тіла простіше використовувати двовимірні представлення Папковича-Нейбера, які мають вигляд

(11.65)

причому для плоского напруженого стану а для плоского деформованого стану . Двовимірні гармонійні функції і можуть бути задані гармонійними поліномами:

(11.66)

Їх підстановка в (11.65) призводить до наступної рівноважної апроксимації:

(11.67)

У плоскому випадку суперелемент буде двовимірним, а граничний елемент - одномірним.

11.13. Рівноважні елементи, що згинаються пластин

Для побудови рівноважних апроксимацій для задач згину пластин слід скористатися рівняннями (6.70), які можуть бути переписані у вигляді

(11.68)

Далі найпростіше застосувати метод невизначених коефіцієнтів.

Особливо слід виділити випадок ізотропної тонкої пластини, для якої прогин визначатиметься з бігармонійного рівняння (6.88):

(11.69)

Рішення будемо шукати у вигляді суми деякого приватного рівняння неоднорідного рівняння і спільного рішення однорідного бігармонічного рівняння:

(11.70)

Для вираження останнього через гармонійні функції і скористаємося формулою Альмансі [17]:

(11.71)

Представляючи функції і гармонійними поліномами аналогічно (11.66), легко отримуємо бігармонічний поліном з необхідним числом невизначених коефіцієнтів.

Рівноважний суперелементов згинаючої пластини буде двовимірним, а граничні елементи - одновимірними.

11.14. Рівноважні елементи оболонок постійної кривизни

МРГЕ , що зводиться до граничних співвідношень, може бути застосовний тільки для оболонок постійної кривизни (пластин, циліндричних і сферичних оболонок і т. д.), так як рівноважну апроксимацію можна побудувати лише для диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Для цього може бути використаний метод невизначених коефіцієнтів. Вихідними є співвідношення (6.70) - (6.73).

Для наближеного розрахунку оболонок змінної кривизни можна використовувати метод рівноважних кінцевих елементів. У цьому випадку оболонка представляється сукупністю КЕ постійної кривизни. Усередині кожного з них визначаються рівноважні базисні функції. Матриці жорсткості КЕ отримують інтегруванням по контуру КЕ.

Глава 12. Термо-, магніто- і електропружність тіл з початковим напруженням і деформаціями

Дефорації твердих тіл можуть бути викликані не тільки силовими навантаженнями, але і взаємодією теплових, електромагнітних чи інших полів. Якщо рхувати, що зміна пружно-деформованого стану тіла не впливає на зміну викликаючих деформацію полів, тобто розглядати так звані незвязані процеси, то врахування такиї полів приводить до нескладних модифікацій основного алгоритму вирішення.

На даний час потрібно вважати добре вивчену теорію термопружності [56,59]. Запитання застосування до неї метода переміщення розглядались у [46, 114, 134].

Краєві задачі магнітоелектропружності розглядались у [80].