11.4 Дискретні рівняння

Підставимо апроксимації(11.19), (11.20) в співвідношення (11.12) і врахуємо довільність варіацій переміщень. В результаті отримаємо стандартну систему лінійних рівнянь :

K{u}={Q} (11.22)

з матрицею жорсткості

(11.23)

і вектором навантаження

. (11.24)

Зазвичай матриця жорсткості має невисокий порядок, оскільки немає необхідності вводити внутрішні вузли суперелементу. По-друге, матриця жорсткості обчислюється інтеграцією тільки по поверхні суперелементу, що значно легше, ніж обчислення об'ємних інтегралів. По-третє, зважаючи на те, що виходить з (7.15),(7.18),(7.30) варіаційне співвідношення

(11.25)

легко доказати симетричність матриці жорсткості (11.23).

Враховуючи сказане, слід відзначити, що для ряду задач МРГЕ приводить до значно більш ефективних розрахункових алгоритмів, ніж метод переміщень чи другі варіанти МСЕ.

Зауважимо, що для об’ємних сил складного вигляду не завжди вдається побудувати власне рівняння неоднорідного рівняння (11.3). В цьому випадку слід використовувати рівноважну апроксимацію (11.2) без . Тоді в розрахунковому рівнянні (11.22) з'явиться додатковий вектор об'ємних навантажень:

(11.26)

Для його обчислення доводиться розбивати об'єм суперелемента на багато КЕ і проводити на кожному з них апроксимацію і інтегрування по відомим методикам роз.1-4.

11.5 Граничні елементи

Для обчислення матриці жорсткості і вектору навантажень складається гранично-елементна модель супер-елементу, тобто його поверхня розбивається на безліч граничних елементів (ГЕ) простої форми, як показано на рис. 11.2. У тривимірному випадку можуть бути криволінійні трикутники і чотирикутники, ділянки кривих ліній. Для плоских двовимірних задач в якості ГЕ використовуються прямолінійні або криволінійні відрізки.

Всі ГЕ розбиваються на два класи - ГЕ, що належать границі S₁, на якій задані переміщення , і ГЕ границі S₂ де відомі поверхневі зусилля . Матриця жорсткості і вектор навантажень ГЕ першого класу визначаються інтегралами

(11.27)

які обчислюються за методиками глав 1 - 4. Аналогічно знаходяться відповідні матриці для ГЕ границі S₂:

(11.28)

11.6. Сполучення рівноважних супер-елементів.

Розрахунок частково-однорідних тіл

Раніше передбачалося , що супер-елемент складається з однорідного матеріалу. Якщо ж необхідно розрахувати частково-однорідне тіло , то потрібно використовувати декілька супер-елементів , ототожнюючи кожен з них з однорідною підобластю тіла. У зв'язку з цим виникає проблема сполучення сусідніх супер-елементів . Відзначимо також , що в ряді випадків для уникнення роботи з великими супер-елементами рекомендується розбити їх на кілька менших , забезпечивши їх відповідне сполучення . Принципово методика сполучення супер-елементів не відрізняється від методики, застосовуваної для КЕ.

Розглянемо два сусідніх супер-елементи з номерами i і r (рис. 11.3) і запишемо для кожного з них систему рівнянь (11.22) в блочному вигляді:

(11.29)

де {u_i}, (u_r} - переміщення вузлів, що належать тільки i-му і тільки r-у елементам; {u_ir}, {u_ri} - переміщення вузлів на спільній границі елементів;

(11.30)

N_i, L_i, N_r, L_r – матриці базисних функцій і зусиль i-го і r-го супер-елементу типу (11.18), (11.21), -матриця базисних функцій граничних елементів на кордоні S_ir, , , , - параметри апроксимацій переміщень і зусиль на границі S_ir.

Врахування в рівняннях (11.29), (11.30) наступних з (5.31) умов сполучення:

дозволяє отримати чотири лінійних рівняння щодо шуканих переміщень супер-елементів {u_i}, {u_r}, {u_ir}, {u_ri}.

Зауважимо, що на відміну від методу переміщень при сполученні рівноважних суперелементов умови стикуванням {u_ir} = {u_ri} виконуються наближено.