Розділ 11 МЕТОД РІВНОВАЖНИХ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

В даному розділі описується метод рівноважних граничних елементів (МРГЕ), розроблений в ряді робіт автора [36-41]. Ідея методу полягає у сумісному використанні МКЕ та так званих рівноважних апроксимацій, які точно задовільняють диференціальні рівняння рівновагою в переміщеннях. За рахунок цього за допомою певних прийомів вдається виключити інтеграли, які важко обчислити за об’ємом тіла, понизивши тим самим розмірність задачі на одиницю. Виключно висока обчислювальна ефективність цього методу обумовлена істотним скороченням порядку дозволяючої системи лінійних рівнянь за рахунок того, що розглядаються тільки граничні вузли тіла. Всередині тіла всі необхідні рівняння задовільняються тотожно, тому сітку КЕ потрібно будувати тільки на границі. Переміщення граничних вузлів визначається з умови максимально точного задовільнення граничних умов, для чого побудовані відповідні граничні інтегральні співвідношення.

Слід відзначити схожість МРГЕ з класичним варіантом методу граничних елементів [13, 18, 19, 62, 122] адже в обох методах вдається виключити з розгляду об’ємні інтеграли. Проте, на відміну від останнього, МРГЕ володіє рядом переваг, про які йтиме мова нижче.

Не дивлячись на простоту використаних ідей, до нинішнього часу схожі методики розв’язку краєвих задач із застосуванням аппарату кінцево-елементної апроксимації не використовувались. Очевидно, це пов'язано з деякими труднощами проблеми побудови рівноважних аппроксимацій і вибору граничних інтегральних співвідношень. Один із шляхів побудови рівноважних аппроксимацій полягає у використанні так званих представлень Папковича-Нейбера [16, 17, 63, 86, 93, 125], які виражають загальні рішення системи диференціальних рівнянь теорії пружності через гармонійні функції. Ці представлення досить широко використовуються в аналітичних методах розв'язку краєвих задач, таких як метод однорідних розв'язків [30, 95], метод суперпозиції [30, 93], метод рядів [58]. В працях [16, 17] ці представлення використовувались для побудови спеціальних класів статечних (степеневих) поліномів. У аналітичних методах шукані коефіцієнти розкладань визначаються з рішення нескінченних систем лінійних алгебрагічних рівнянь (рівнянь алгебри) [18, 76]. В числових методах вибирається кінцеве число членів рівноважного ряду, а для отримання дозволяючих систем рівнянь застосовуються різні способи.Наприклад, в працях [16, 17] використовується метод граничних коллокацій, який, не дивлячись на свою простоту, володіє рядом недоліків.

Перспективний шлях використання рівноважниж розв’язків полягає в застосуванні ідей МКЕ. Такий шлях, по-перше, забезпечує наглядність отриманих розв’язків, а по-друге дозволяє використовувати багатий арсенал обчислювальних засобів МКЕ.

На жаль, зручні представлення Папковича-Нейбера вірні тільки для ізотропних тіл. Для анізотропних матеріалів для побудови рівноважних апроксимацій доводиться застосовувати складніші методики.

Ще однією принципово важливою проблемою є коректний вибір дозволяючих інтегральних співвідношень. У цьому розділі вони будуються на основі варіаційних співвідношень механіки, що призводить до симетричних систем лінійних рівнянь.

Слід зазначити, що МРГЕ використовує ідеї деяких близьких до нього методів : методів кінцевих [10, 22, 26, 46, 47, 71, 73, 75, 78, 82, 83, 85, 94, 103, 104, 109, 111, 114, 120, 121, 134, 135] і граничних [13, 18, 19, 62, 122] елементів, методу суперелементів [72, 111], варіаційного методу Трефтца [74]. Окремими випадками МРГЕ є метод рівноважних кінцевих елементів [37-40], а також класичний варіант МКЕ.

11.1 Методи побудови рівноважних апроксимацій

Розглянемо деяку однорідну підобласть тіла (мал. 11.1) і виберемо на її межі пг вузлів. Назвемо цю область суперелементом, використовуючи термінологію книги [72]. На відміну від кінцевого елементу, суперелемент може мати довільну форму і змінне число граничних вузлів. Усередині суперелементу виберемо місцеву систему координат хуг, по можливості направивши її уздовж головних осей анізотропії матеріалу.

Під дією відомих об'ємних і поверхневих сил в суперелементі виникають напруження , які викликають деформації і переміщення . Згідно(8.22) для пружного тіла істинні переміщення мають бути рішеннями наступних диференціальних рівнянь рівноваги :

(11.1)

Для точного задовільнення цих рівнянь представимо переміщення наступним рядом з невизначеними коефіцієнтами .

(11-2)

де (,х, у, z) - деякий відомий окремий розв'язок неоднорідного рівняння

(11.3)

а функції задовольняють відповідному однорідному рівнянню:

(11.4)

При будь-якому виборі коефіцієнтів апроксимація (11.2) буде рівноважною, тобто переміщення, що задаються з її допомогою, тотожно задовольняють диференціальним рівнянням рівноваги (11.1).

У окремому випадку ізотропного матеріалу з коефіцієнтом Пуассона функції можуть бути вибрані з класу функцій, що задаються представленнями Папковича, - Нейбера [16, 17 63, 86, 93, 125]:

(11.5)

де ( (х, у, z) є так звані гармонійні функції, що задовольняють рівнянню Лапласа :

(11.6)

Відзначимо, що без обмежень спільності в представленнях(11.5) можна покласти Задаючи функції рядами по відомих приватних рішеннях рівняння Лапласа

(11.7)

і підставляючи їх в(2.4), приходимо до рівноважної апроксимації (2.1). Для функцій можуть бути рекомендовані дійсні і уявні частини наступних комплексних функцій (11.8)

або інші, отримувані з них перехресною заміною змінних.

Помітимо, що в монографіях [16, 17] запропоновані і досліджені повні базисні системи поліноміальних рішень як рівнянь Лапласа(11.6), так і рівнянь рівноваги(11.1) для ізотропного тіла. Доведено, що будь-який повний поліном довільного порядку може бути представлений розкладанням в ряд, що абсолютно і рівномірно сходиться, за системою рівноважних статечних( степеневих) поліномів. Для їх побудови запропоновані рекурентні формули, алгоритми і програми.

Для трансверсально-ізотропного тіла відповідні представлення переміщень через гармонійні функції вказані в [63,93].

На жаль, подібних представлень не існує для анізотропного тіла. Тому для побудови рівноважних апроксимацій треба користуватися іншими підходами. Найпростіший з них, що називається методом невизначених коефіцієнтів, полягає в наступному [17, 36, 38]. Представимо переміщення у вигляді статечних (степеневих) рядів, наприклад:

(11.9)

і підставимо їх в кожне з трьох однорідних рівнянь (11.1) при . Після диференціювання кожне з трьох рівнянь буде умовою рівності нулю деякого полінома з коефіцієнтами, лінійно залежними від :

(11.10)

Безліч рівнянь визначає умови зв'язку між коефіцієнтами , з яких треба вибрати n незалежних і позначити їх . Врахування цих умов в (11.9) дозволяє отримати n вектор-функцій з рівноважної апроксимації(11.2).

Слід відмітити, що процес побудови рівноважних апроксимацій легко піддається автоматизації.