Підстановки Ейлера

№

п/п

Вид інтегралу

Метод інтегрування

1

Підстановка

2

Інтегрування частинами

.

Метод інтегрування частинами застосовується, зокрема, до інтегралів виду , де - многочлен, а - одна з наступних функцій :

; ; ; ; ; та ін.,

а також до інтегралів від добутку показникової функції на косинус або синус.

3

Зводиться до інтегрування добутку за допомогою формули кратного інтегрування частинами:

4

,

де - многоч-лен степені .

Використовуючи формулу кратного інтегрування частинами, отримаємо

5

,

Підстановка

6

Використання рекурентної формули

7

, де - правиль-ний раціональ-ний дріб,

Підінтегральний дріб представляємо у вигляді суми простих дробів

8

,

де - раціональна функція своїх аргу-ментів.

Приводиться до інтегралу від раціонального дробу підстановкою , де спільний знаменник дробів

, … ,

9

,

де - раціональна функція своїх аргу-ментів.

Зводиться до інтеграла від раціонального дробу підстановкою

10

Підстановкою інтеграл приводиться до суми двох інтегралів:

.

Перший інтеграл зводиться до інтеграла від степеневої функції, а другий інтеграл – табличний.

11

,

де - раціональна функція від і

Приводиться до інтеграла від раціонального дробу підстановками Ейлера:

, ;

, ;

, ,

де корінь тричлена .

Для обчислення вказаного інтеграла застосовуються також тригонометричні підстановки:

12

, де - многочлен степені .

Записуємо рівність

,

де многочлен степені . Диференціюючи обидві частини цієї рівності, та помножуючи на , отримаємо тотожність

,

яка дає систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів многочлена і множника .

Інтеграл

Обчислюється за допомогою методу, описаного в п.10 ( , ).

13

Цей інтеграл зводиться підстановкою до інтегралу, розглянутого вище.

14

,

де - раціональ-ні числа (інтеграл від біномного диференціалу).

Інтеграл від біномного диференціала виражається через елементарні функції тільки при виконанні однієї з наступних умов:

1. якщо ціле число,

2. якщо ціле число,

3. якщо ціле число.

1-й випадок.

а) якщо ціле додатне число, тоді потрібно розкрити дужки за формулою бінома Ньютона і обчислити інтеграли від степенів;

б) якщо ціле від’ємне число, тоді підстановка , де спільний знаменник дробів і , приводить до інтеграла від раціонального дробу.

2-й випадок.

Якщо ціле число, тоді застосовується підстановка , де знаменник дробу .

3-й випадок.

Якщо ціле число, тоді використовуємо підстановку , де знаменник дробу .

15

1. Універсальна тригонометрична підстановка

.

Для заміни використовуємо наступні співвідношення:

, ,

, .

2. Якщо

, тоді застосуємо підстановку .

3. Якщо

, тоді використаємо заміну .

4. Якщо

, тоді проведемо заміну у вигляді .

16

Застосуємо підстановку . При цьому

, , .

17

Необхідно перетворити добуток тригонометричних функцій в суму або різницю, використовуючи одну з наступних формул:

18

,

де і - цілі числа.

Якщо непарне додатне, тоді застосовується підстановка .

Якщо непарне додатне, тоді використовується підстановка .

Якщо - парне від’ємне, тоді підстановка .

Якщо і - парні невід’ємні, тоді застосуємо формули пониження порядку:

, .

19

,

,

де і -раціональні числа.

Заміною зводиться до інтеграла від біномного диференціала

,

(див. п.14).

20

Підстановкою перетворюється до інтеграла від раціональної функції.