Універсальна тригонометрична підстановка
Інтеграли виду
,
де
- раціональна функція двох змінних,
приводяться до інтегралів від раціонального
аргументу
підстановкою
,
,
яка називається універсальною .
При цьому використовуються наступні формули:
,
,
,
.
Приклад 1
Скористаємось вищенаведеними формулами. В результаті отримаємо
Провівши зворотну заміну отримаємо
.
Приклад 2
Використовуючи заміну і формули
,
,
,
,
отримаємо
Розкладаючи підінтегральну функцію на прості дроби, отримаємо
Проводячи зворотну заміну і деякі спрощення остаточно отримаємо
.
Приклад 3
Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку, використовуючи вищенаведені формули:
,
,
,
, .
Отримаємо наступне
Під інтегралом отримали раціональний дріб, для розкладу якого на прості дроби застосуємо метод невизначених коефіцієнтів.
Сформуємо систему для визначення коефіцієнтів.
Шуканий інтеграл прийме наступний вид
Згідно правил інтегрування, отримаємо
Зробивши зворотну заміну , остаточно отримаємо
.
Приклад 4
Проведемо деякі перетворення підінтегрального виразу:
Зробимо підстановку за формулами
, , ,
, .
Отримаємо
Так як під інтегралом отримали правильний дріб (степінь чисельника менший степеня знаменника), застосуємо метод невизначених коефіцієнтів для розкладу підінтегрального виразу на прості дроби:
Звівши до спільного знаменнику, отримаємо
.
Утворимо систему для визначення коефіцієнтів:
В результаті шуканий інтеграл прийме вид:
Користуючись універсальною тригонометричною підстановкою, знайти наступні інтеграли.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тригонометричні та гіперболічні підстановки
Інтеграл виду
за допомогою підстановки
зводиться до одного з таких інтегралів:
1)
;
2)
;
3)
,
де
.
Останні інтеграли тригонометричною або гіперболічною підстановкою відповідно
1)
або
;
2)
або
;
3)
або
зводяться до інтегралів виду
,
або
.
Приклад 1
Даний приклад є першого типу. Проведемо заміну
,
,
.
Отримаємо
Провівши зворотну заміну, отримаємо
Приклад 2
Для даного випадку прийнятна заміна
,
,
.
В результаті матимемо
Проводячи зворотну заміну, отримаємо
.
Приклад 3
Згідно вищевикладеного, для третього випадку застосуємо наступну заміну:
,
,
.
Отримаємо
Далі введемо універсальну тригонометричну
підстановку
і формули
,
,
,
.
Матимемо
Проведемо зворотну заміну:
і
остаточно
.
Згідно вищевикладеного, обчислити наступні інтеграли.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
