Івано-Франківський національний технічний

університет нафти і газу

В.В.Рис, Г.В.Григорчук

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Інтегральне числення функції однієї змінної

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Івано – Франківськ

2010

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Івано-Франківський національний технічний

університет нафти і газу

Кафедра вищої математики

В.В.Рис, Г.В.Григорчук

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Інтегральне числення функції однієї змінної

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Для студентів напряму підготовки 6.050304 –

«Нафтогазова справа»

Рекомендовано методичною радою університету

Івано – Франківськ

2010

МВ 02070855-3117-2010

Рис В.В., Григорчук Г.В. Вища математика. Інтегральне числення функції однієї змінної. Методичні вказівки для самостійної роботи. – Івано-Франківськ: ІФНТУНГ, 2010.- 164с.

Методичні вказівки розроблено відповідно до робочої програми дисципліни «Вища математика».

Пропоновані методичні вказівки покликані допомогти студентам ознайомитись із втузівським курсом інтегрального числення функції однієї змінної, навчитися застосовувати інтегральне числення до важливих практичних задач. Виклад матеріалу ілюструється численними прикладами, зразками їх розв’язування. Для закріплення викладеного матеріалу пропонується достатня кількість різнотипних завдань для самостійного розв’язування.

Призначено для підготовки бакалаврів за напрямом 6.050304 – «Нафтогазова справа».

Рецензент: доцент кафедри вищої математики Савчук Я.І.

Голова навчально-методичного В.Я.Грудз

об’єднання спеціальності

Завідувач кафедри

вищої математики В.М. Мойсишин

Член експертно-рецензійної

комісії університету П.Д. Романко

Нормоконтролер Г.Я. Онуфрик

Коректор Н.Ф. Будуйкевич

Інженер першої категорії Н.В.Мирка

Рекомендовано методичною радою університету

(протокол № від 2010р.)

© Рис В.В., Григорчук Г.В., 2010

© ІФНТУНГ, 2010

МВ 02070855-3117-2010

Рис В.В., Григорчук Г.В. Вища математика. Інтегральне числення функції однієї змінної. Методичні вказівки для самостійної роботи. – Івано-Франківськ: ІФНТУНГ, 2010.- 164с.

Методичні вказівки розроблено відповідно до робочої програми дисципліни «Вища математика».

Пропоновані методичні вказівки покликані допомогти студентам ознайомитись із втузівським курсом інтегрального числення функції однієї змінної, навчитися застосовувати інтегральне числення до важливих практичних задач. Виклад матеріалу ілюструється численними прикладами, зразками їх розв’язування. Для закріплення викладеного матеріалу пропонується достатня кількість різнотипних завдань для самостійного розв’язування.

Призначено для підготовки бакалаврів за напрямом 6.050304 – «Нафтогазова справа».

Рецензент: доцент кафедри вищої математики Савчук Я.І.

Рекомендовано методичною радою університету

(протокол № від 2010р.)

© Рис В.В., Григорчук Г.В.,2010

© ІФНТУНГ, 2010

ЗМІСТ

ВСТУП................................................................................7

Розділ 1

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

1. Поняття інтеграла. Властивості.…………………8

2. Безпосереднє інтегрування і метод розкладу……9

3. Інваріантність диференціала…………………….13

4. Заміна змінної…………………………………….19

5. Інтегрування частинами……….............................24

6. Квадратний тричлен...............................................32

7. Інтегрування раціональних дробів………………40

8. Інтегрування ірраціональних функцій ……….....52

9. Диференціальний біном…………………………..56

10. Інтегрування тригонометричних функцій……….60

11. Універсальна тригонометрична підстановка……66

12. Тригонометричні та гіперболічні підстановки….73

13. Підстановки Ейлера……………………………….77

14. Огляд основних методів інтегрування…………...79

Розділ 2

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

15. Поняття визначеного інтеграла. Властивості.……89

16. Обчислення визначеного інтеграла по

формулі Ньютона-Лейбніца…….............................94

17. Заміна змінної………………………………………98

18. Інтегрування частинами .........................................103

19. Наближене обчислення визначених інтегралів….109

20. Невласні інтеграли…………………………….…..118

Розділ 3

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО

ІНТЕГРАЛА

21. Обчислення площі плоскої фігури…..……….……133

22. Обчислення об’єму тіла……………………………138

23. Довжина дуги кривої……………………………….143

24. Площа поверхні обертання………………………...146

25. Відповіді на приклади………………………………149

Перелік рекомендованих джерел………………………...164

ВСТУП

Тенденція до інтегрування вищих навчальних закладів України у міжнародний освітній простір зумовлює необхідність розробки та втілення у практику навчального процесу заходів, спрямованих на підвищення якості вищої освіти. Одним з них є самостійна робота студентів над навчальним матеріалом.

Пропоновані методичні вказівки містять короткий виклад теоретичної інформації, необхідної для роботи, а також велику кількість практичних завдань, які охоплюють весь втузівський курс інтегрального числення функції однієї змінної.

Весь матеріал розбитий на три розділи, а в межах кожного з них - на параграфи по темах. Параграфи містять коротку теоретичну інформацію по конкретній темі, розв’язані приклади з необхідними поясненнями, а також умови типових задач для самостійної роботи. Результати і відповіді приведені в кінці методичних вказівок.

Автори вдячні співробітникам кафедри вищої математики ІФНТУНГ за поради та уточнення.

Методичні вказівки можна розглядати як навчальний посібник, що доповнює існуючі підручники та практикуми з вищої математики. Сподіваємось, що вони будуть корисні як для тих, хто прагне якісно опрацювати курс вищої математики, так і для викладачів вищих навчальних закладів.

Розділ 1 невизначений інтеграл

1. Поняття інтеграла. Властивості

Функція називається первісною функції на проміжку , якщо диференційована на і для всіх .

Якщо - первісна функції на проміжку , то всяка інша первісна функції на проміжку має вигляд , де С – довільна стала.

Якщо - первісна функції на проміжку і С – довільна стала, то множина всіх первісних функції називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається символом . Отже, за визначенням,

, якщо , .

Властивості невизначеного інтеграла

1.

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо і - довільна функція, що має неперервну похідну, то .

2. Безпосереднє інтегрування і метод розкладу

Безпосереднє інтегрування полягає в прямому використанні таблиці інтегралів:

1. , ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ,

а також застосуванні властивостей невизначеного інтеграла.

Приклад 1

Використаємо властивість 5 з параграфу 1. В результаті отримаємо

Згідно співвідношення 1 з таблиці інтегралів маємо

.

Приклад 2

Розкривши дужки та поділивши почленно на знаменник отримаємо

Згідно властивості 5 та співвідношення 1 з таблиці інтегралів матимемо

.

Приклад 3

Поділивши почленно на знаменник отримаємо

Згідно властивості 5 та співвідношення 3 матимемо

.

Приклад 4

Поділимо чисельник на знаменник і приведемо до правильного дробу:

Згідно властивості 5 та співвідношень 1 і 15 отримаємо

.

Приклад 5

Понизивши порядок синуса за формулою

та застосувавши властивість 5 та співвідношення 1 і 5 отримаємо

.

Приклад 6

Замінивши в знаменнику та поділивши почленно отримаємо

застосовуючи співвідношення 1 і 9 матимемо

.

Користуючись основною таблицею інтегралів і простими правилами інтегрування знайти інтеграли:

1. 2.

3. 4.

5.

6. 7.

8. 9.

10.

3. Інваріантність диференціала

Правило 6 значно розширює таблицю простих інтегралів, тому що несуттєво, чи під знаком диференціала знаходиться незалежна змінна, чи диференційована функція.

Варто навести найбільш часто використовувані перетворення диференціала:

; ;

;

; ;

; ;

;

.

Користуючись вищенаведеними правилами, обчислити наступні інтеграли.

Приклад 1

Згідно вищевикладеного матимемо

За співвідношенням 1 отримаємо

Приклад 2

Внісши чисельник під диференціал і додавши константу отримаємо

Заміняючи , і застосовуючи співвідношення 1 матимемо

.

Приклад 3

Вносячи під знак диференціала та проводячи заміну , отримаємо

За співвідношенням 1

.

Приклад 4

Перепишемо підінтегральний вираз наступним чином

Враховуючи, що , і проводячи заміну , матимемо

Почленно ділячи чисельник на знаменник та застосовуючи властивість 5 і співвідношення 1 отримаємо

Провівши зворотну заміну, остаточно отримаємо

.

Приклад 5

Враховуючи, що

і проводячи заміну , отримаємо

Застосовуючи властивість 5 та співвідношення 1, 4 і 5 матимемо

Проводячи зворотну заміну, отримаємо

.

Приклад 6

Внесемо під диференціал:

Зробимо заміну . Отримаємо

Враховуючи співвідношення 19 отримаємо

Провівши зворотну заміну, остаточно матимемо

.

Приклад 7

Винесемо в знаменнику за дужки, скоротимо

Внесемо під диференціал, проведемо заміну . Отримаємо

Враховуючи співвідношення 20, матимемо

І проводячи зворотну заміну, остаточно отримаємо

.

Обчислити інтеграли, скориставшись теоремою про інваріантність формул інтегралів.

1. 2.

3. , 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

4. Заміна змінної

Метод заміни змінної застосовується одним із таких двох способів.

1. Інтеграл записують у вигляді

,

в якому для функції відома первісна . Тоді

=

.

У цьому випадку йдеться про «введення функції під знак диференціала»: .

2. Інтеграл зображають у вигляді

,

де функція має обернену функцію і для функції відома первісна . Тоді

.

В цьому випадку йдеться про «виведення функції з-під знака диференціала»:

.

Застосовуючи потрібну заміну змінної, обчислити наступні інтеграли.

Приклад 1

Введемо наступну заміну:

, , .

Отримаємо

Проведемо зворотну заміну

.

Приклад 2

Використовуючи інваріантність диференціала, внесемо під диференціал:

Зробимо заміну

, .

Отримаємо

Так як степінь многочлена в чисельнику більший за степінь многочлена в знаменнику, скористаємось схемою Горнера ділення многочленів. Матимемо

Враховуючи властивість 5, інваріантність диференціала та співвідношення 1 отримаємо:

Провівши зворотну заміну, остаточно матимемо

.

Приклад 3

Винесемо в знаменнику за дужки, і проведемо наступні перетворення

Зробимо заміну

, .

Отримаємо

Проводячи зворотну заміну, остаточно

.

Приклад 4

Проведемо наступну заміну:

, , .

Отримаємо

Перший інтеграл є табличним, а в другому проведемо заміну

, .

Матимемо

Понизимо порядок за формулою

Проведемо зворотні заміни:

, .

Остаточно отримаємо

Приклад 5

Проведемо деякі перетворення:

Виділимо повний квадрат під коренем:

Згідно співвідношення 22 отримаємо

.

Користуючись вищевикладеним, обчислити наступні інтеграли.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.