5.1. Інтегрування заміною змінної (метод підстановки)

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] , а функція x=(t) і її похідна неперервні на відрізку [,] , причому для всіх , то

(5.1)

Доведення. Нехай Ф(x) - яка - небудь первісна функції f(x) на відрізку ; тоді - функція є первісною для функції на відрізку тому за форму-лою Ньютона-Лейцбніца

(5.2)

Формула (5.1) називається формулою заміни змінної у визначеному інтегралі , або формулою інтегрування підстановкою. На відміну від невизначеного інтегралу тут не потрібно повертатися до старої змінної, але треба поміняти межі інтегрування.

Приклади. Обчислити інтеграли:

Розв’язання.:

5.2. Інтегрування частинами

Теорема. Якщо функції u(x) і v(x) неперервні разом зі своїми похідними u^/(x) та v^/(x) на відрізку [a,b], то (5.3)

Для скорочення записів аргумент в дужках писати не будемо; врахуємо, що v^/dx=dv, u^/ dx=du, і

Відомо d(uv)=vdu+udv , звідси udv= d(uv)- vdu.

Зінтегруємо останню рівністьв межах від а до b.

Оскільки , то маємо

.

Функції uv^/ і vu^/ неперервні (за умовою) на відрізку , тому інтеграли, що є в (5.3) , існують.

Приклади. Обчислити інтеграли:

1) 2) 3)

Poçâ’язання.

Маємо або .

Звідси .

Вправи. Обчислити інтеграли

1. 2. 3.

2. 5. 6.

3. 8. 9.

10.

Відповіді.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. 6. .

7. . 8. . 9. -4. 10. .

5. Невластиві інтеграли

В означенні визначеного інтеграла допускалось , що функція визначена і обмежена на скінченному проміжку [a.b].Якщо не виконується принаймі одна з цих умов, то визначений інтеграл побудувати не можна. Тоді будують нові інтеграли. Їх називають невластивими визначеними інтегралами: невластиві інтеграли першого роду (або інтеграли з нескінченними проміжками інтегрування), якщо інтервал нескінченний, і невластиві інтеграли другого роду (інтеграли необ-межених функцій), якщо функція необмежена. Корис-туючись геометричним тлумаченням інтеграла, можна відповідно говорити про площу трапеції з нескінченною основою чи з нескінченною висотою Цікаво , що в деяких випадках такі трапеції мають скінченну площу в певному розумінні

5.3 Невластиві інтеграли першого роду

Вважатимемо, що відповідна функція інтегрована на будь-якому скінченному інтервалі, що міститься в нескінченному.

Означення. Скінченна границя (якщо вона

існує) називається невластивим інтегралом функції f пер-шого роду і позначається , тобто

(5.4)

Аналогічно визначаються невластиві інтеграли для інших нескінченних інтервалів:

(5.5)

, (5.6)

де с - будь - яке число.

Якщо існує скінченна границя (5.4), то кажуть що невластивий інтеграл збігається . Якщо границя (5.4) не існує або нескінченна , то інтеграл (5,4) розбігається.

Розглянемо приклади , які приводять до таких інтег-ралів.

Рисунок 5.1

Знайдемо площу S під кривою (Рис5.1). Площу заштрихованої фігури безпосередньо обчислити важко. Однак , якщо відрізати нескінченний “ хвіст” прямою x=b , то площу криволінійної трапеції aABb можна обчислити за допомогою визначеного інтег-рала Якщо , то ми повинні отримати площу всієї заштрихованої фігури, тобто

2. Обчислимо площу S під кривою , (рис.5.2).

Рисунок 5.2

Як і в попередньому прикладі, маємо

.

Отже, в даному випадку площа нескінченного “хвоста” скінченна і дорівнює 1/а.

3. Обчислити інтеграл

Розв’язання.

Отже, інтеграл збігається.

4. Обчислити .

Розв’язання.

.

;

Тоді , тобто інтеграл збігаєть-ся.