3.3 Властивості визначеного інтеграла.

За означення приймемо

а)

б)

Це зрозуміло, якщо згадати геометричний зміст інтеграла. Деякі з властивостей випливають з означення визначеного інтеграла, а доведення інших зрозумілі інтуїтивно.

1. Однорідність.

2. Аддитивність за функцією.

Наслідок.

3. Аддитивність за проміжком.

при довільному розміщенні точок a, b, c (якщо с[ a, b ], то властивість очевидна; в загальному випадку …

4. Інтегрування нерівності. Якщо f₁(x)  f₂(x), x( a, b ), то

де a < b.

5. Оцінка модуля інтеграла

6.Теорема про середнє значення. Якщо f(x) неперервна на

[ a, b ], то  c[ a, b ] таке, що

(4.6)

Геометричне тлумачення теореми при f(x)  0 і f С_{[ a, b ]} таке: криволінійна трапеція рівновелика з відповідним прямокутником, який має з трапецією спільну основу

( рис. 4.3 ).

Доведення. Знеперервності f(x) випливає обмеженість її на [a,b], тобто існують m<M такі, що m f(x) M на [a,b]. Зінтегруємо останню нерівність скориставшись власти-вістю 4. ^. Маємо ,

або (4.6)

Звідси (4.7)

Нехай . Беручи до уваги теорему про найбільше, найменше і проміжні значення неперервної функції дійдемо висновку, що існує принаймі одна точка така що , тобто виконується рівність (4,6). Нерівність (4,7) називають оцінкою визначеного інтегралу для обмеженої функції За допомогою цієї формули можна визначити межі , в яких міститься величина інтеграла , не обчислюючи його.

Рисунок 4.3

Означення. Середнім значенням інтегрованої на [a,b] функції f(x) називається величина .

Деякі з цихвла стивостей випливають з означення (4.5), а доведення інших властивостей зрозумілі інтуїтивно

(властивість 1-6 довести самостійно)

4.4. Обчислення визначеного інтеграла за допомогою

невизначеного інтеграла.

Як випливає з усього попереднього , в самій математиці і її застосуванні надзвичайно важливу роль відіграють два типи границь. Один із них дає нам похідну,

а інший –  - визначений інтеграл від функції. Важливе значення має теорема Барроу, яка встановлює зв’язок між цими двома поняттями. Її називають основною теоремою диференціального і інтегрального числення. Щоб перейти до неі, розглянемо визначений інтеграл як функцію від його верхньоі межі (інтеграл із змінною верхньою межею)

(4.8)

Ми скористались тим, що .

Теорема (Барроу). Якщо f неперервна функція на [a,b] то Ф^/(x)=f(x) ,тобто Ф(х) є первісною для інтегровної функції.

Доведення. Знайдемо похідну функції Ф(х), тобто

На основі властивості 3­ дістаємо:

Рисунок 4.4

За теоремою про середнє значення

.

Оскільки f(x) неперервна, то

.

Отже, вираз (4.8) є первісною для неперервної функції y=f(x).Це випливає із означення первісної і теореми Барроу.

Теорема. Якщо функція F(x) є первісною для неперервної функції f(x), то

(4.9)

Формулу (4.9) називають формулою Ньютона-Лейбніца, а іноді основною формулою інтегрального числення.

Доведення. За умовою F(x) є первісною для неперервної функції y=f(x), а Ф(х)– первісна за теоремою Барроу, тому F(x) і Ф(x) відрізняються лише на сталу:

, тобто

. (4.10)

Нехай x=a в (4.10). Тоді

, звідки C=-F(a) .

Нехай x=b. Тоді

.

Наслідок. Справедливі формули

і .

Приклади.

1.	.
2.
3.

Вправи.

Користуючись формулою Ньютона-Лейбніца, обчислити інтеграли.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

Відповіді:1) 48. 2) 25/ln 5. 3) 0,5(ln 13-ln 7). 4) 1,5. 5) . 6) . 7) . 8) ln2. 9) 1. 10) .

Лекція 5

Методи обчислення визначеного інтеграла .

Невластиві інтеграли

Оскільки для знаходження визначеного інтеграла треба спочатку знайти невизначений інтеграл (первісну), а потім скористатися формулою Нютона-Лейбніца, то методи обчислення визначеного інтеграла збігаються з методами знаходження невизначеного інтеграла. Таких методів є два: заміна змінної та інтегрування частинами.