Вправи. Обчислити інтеграли.

	Відповіді.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

9)
10)

3.2 Застосування невизначенх інтегралів

У майбутньому до обчислення невизначених інтегралів (первісної) буде зводитись задача обчислення визначеного інтеграла і задача розв’язків (інтегрування) деяких типів диференціальних рівнянь. Задачі, які ми зараз розглянемо, зводяться до відшукання функції за певними умовами ,основною яких є задання похідної невідомої функції (кутового коефіцієнта дотичної до кривої у геометричних задачах , швидкості або прискорення у фізичних ).

Приклад.

Знайти функцію , перша похідна якої

і

Розв’язавання. Очевидно , що шукана функція є первісною для функції

А всі первісні належать до класу функцій

Первісною, яка задовільняє умову , буде та, для якої С визначається з рівняння

Звідси .

Тоді шуканю функцією є

Приклад 2.

Знайти функцію , для якої

Розв’язання. Запишемо останню рівність у вигляді:

Звідси і

З цієї рівності знайдемо y . Маємо

, а звідси

Отже, функцію треба

шукати в класі функцій

за умовою Тоді з рівності дістаємо і функція

.

При розв’язуванні задач такого типу після інтегрування часто дістаємо рівняння, яке не можна роз- в’язати відносно змінної y, тобто розвязком задачі є неявна функція (функція задана рівнянням).

Приклад 3.

Знайти криву , яка проходить через точку A(1,2) і кожна дотична до цієї кривої перетинає пряму y=1 у точці з абсцисою , що дорівнює подвійній абсцисі точки дотику

Розв язання. Нехай M(x,y) - довільна точка шуканої кривої. Тоді рівняння дотичної до кривої , що проходить через т. M(x,y), має вигляд

,

де (X,Y) - біжучі координати точок дотичної.

За умовою точка (2x,1) належить дотичній , тобто справедлива рівність

Отже , задача звелась до відшукання функції y = f(x), для якої і похідна подається у вигляді .

Запишемо останню рівність у вигляді і знайдемо невизначені інтеграли.

Маємо

Врахувавши, що при x=1, y=2, С=0, рівняння шуканої кривої матиме вигляд .

Вправи.

1. Знайти функцію y=f(x), для якої:

a) б)

Відповіді.

а) б)

2. Знайти криву, яка проходить через т.А(0;1), а кутовий коефіцієнт її дотичної у кожній точці дорівнює ординаті цієї точки.

Відповідь. y = e^x .

3. Знайти криву, яка проходить через т.А(0;1), а кутовий коефіцієнт її дотичної дорівнює подвоєному добутку коор-динат точки дотику. Відповідь. .